0804空间直线及其方程-向量代数与空间解析几何
文章目录
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- 1 空间直线方程
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- 1.1 空间直线的一般方程
- 1.2 空间直线的对称式方程
- 1.3 空间直线的参数方程
- 1.4 空间直线的两点式方程
- 3 两直线的夹角
- 4 直线与平面的夹角
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- 4.1 定义
- 4.2 夹角的正弦公式
- 5 例题
- 6 平面束方程
- 结语
1 空间直线方程
1.1 空间直线的一般方程
空间直线L可以看做是两个平面的交线，则
{ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{cases} {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
上述方程组称为空间直线的一般方程式。
注：空间直线方程不唯一，因为过一条直线有无数平面。
1.2 空间直线的对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量叫做这条直线的方向向量。
由直线L上的一点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 和方向向量 s ⃗ = ( m , n , p ) M(x_0,y_0,z_0)和方向向量\vec s=(m,n,p) M(x0,y0,z0)和方向向量s=(m,n,p)唯一确定该直线。设置 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M(x,y,z)为直线上的任一一点，由 M 0 M ⃗ ∥ s ⃗ \vec{M_0M}\parallel \vec s M0M∥s,有
x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p ( 4 − 2 ) \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\quad (4-2) mx−x0=ny−y0=pz−z0(4−2)
方程组（4-2）叫做直线L的对称式方程或者点向式方程。
直线的任一方向向量 s ⃗ \vec s s的坐标m,n,p叫做直线的一组方向数，向量 s ⃗ \vec s s的方向余弦叫做该直线的方向余弦。
注：
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当m,n,p中有一个为零时，例如 m = 0 , n ≠ 0 , p ≠ 0 m=0,n\not=0,p\not=0 m=0,n=0,p=0，方程组为
{ x − x 0 = 0 y − y 0 n = z − z 0 p \begin{cases} x-x_0=0\\ \frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \end{cases} {x−x0=0ny−y0=pz−z0 -
当m,n,p中有两个为零时，例如 m = n = 0 , p ≠ 0 m=n=0,p\not=0 m=n=0,p=0,方程组为平行于z轴的直线
{ x − x 0 = 0 y − y 0 = 0 \begin{cases} x-x_0=0\\ y-y_0=0\\ \end{cases} {x−x0=0y−y0=0
1.3 空间直线的参数方程
设 x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p = t \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t mx−x0=ny−y0=pz−z0=t,有
{ x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t ( 4 − 3 ) \begin{cases} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt \end{cases}\qquad (4-3) ⎩ ⎨ ⎧x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt(4−3)
方程组（4-3）叫做直线的参数方程。
注：
- t取定每一个值，对应x,y,z为直线L上的一点；
- 参数式方程一般用来求直线与平面的交点。
1.4 空间直线的两点式方程
设直线L过两点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2) M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则方向向量$\vec s=(x2_x_1,y_2-y_1,z_2-z_1),根据空间直线的一般方程有
x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 = z − z 1 z 2 − z 1 ( 4 − 4 ) \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\qquad (4-4) x2−x1x−x1=y2−y1y−y1=z2−z1z−z1(4−4)
方程（4-4）称为空间直线的两点式方程。
例1 将空间直线L一般方程
{ x + y + z + 1 = 0 2 x − y + 3 z + 4 = 0 \begin{cases} x+y+z+1=0\\ 2x-y+3z+4=0 \end{cases} {x+y+z+1=02x−y+3z+4=0
化为对称式及参数式方程，并求与平面 π : x + y = 0 \pi:x+y=0 π:x+y=0的交点。
解：任取直线上一点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，取 y 0 = 0 , 得 x 0 = 1 , z 0 = − 2 , 即点 M 0 ( 1 , 0 , − 2 ) 为直线上一点 取 z 0 = 0 , 则 x 0 = − 5 3 , y 0 = − 2 3 , 即点 M 1 ( − 5 3 , 2 3 , 0 ) 也为直线上一点 M 0 M 1 ⃗ = ( − 8 3 , 2 3 , 2 ) = − 2 3 ( 4 , − 1 , − 3 ) 取 s ⃗ = ( 4 , − 1 , − 3 ) 空间对称式方程 : x − 1 4 = y − 1 = z + 2 − 3 令上述等式等于 t , 则参数式方程为： { x = 4 t + 1 y = − t z = − 3 t − 2 将参数式方程带入平面 π : x + y = 0 , 有 4 t + 1 − t = 0 , t = − 1 3 ∴ 直线与平面 π 的交点为 ( − 1 3 , 1 3 , − 1 ) 解：任取直线上一点(x_0,y_0,z_0)，取y_0=0,得 x_0=1,z_0=-2,即点M_0(1,0,-2)为直线上一点\\ 取z_0=0,则x_0=-\frac{5}{3},y_0=-\frac{2}{3},即点M_1(-\frac{5}{3},\frac{2}{3},0)也为直线上一点\\ \vec{M_0M_1}=(-\frac{8}{3},\frac{2}{3},2)=-\frac{2}{3}(4,-1,-3)\\ 取\vec s=(4,-1,-3)\\ 空间对称式方程:\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}\\ 令上述等式等于t,则参数式方程为： \begin{cases} x=4t+1\\ y=-t\\ z=-3t-2 \end{cases}\\ 将参数式方程带入平面\pi:x+y=0,有\\ 4t+1-t=0,t=-\frac{1}{3}\\ \therefore 直线与平面\pi的交点为(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},-1) 解：任取直线上一点(x0,y0,z0)，取y0=0,得x0=1,z0=−2,即点M0(1,0,−2)为直线上一点取z0=0,则x0=−35,y0=−32,即点M1(−35,32,0)也为直线上一点M0M1=(−38,32,2)=−32(4,−1,−3)取s=(4,−1,−3)空间对称式方程:4x−1=−1y=−3z+2令上述等式等于t,则参数式方程为：⎩ ⎨ ⎧x=4t+1y=−tz=−3t−2将参数式方程带入平面π:x+y=0,有4t+1−t=0,t=−31∴直线与平面π的交点为(−31,31,−1)
3 两直线的夹角
两直线方向向量的夹角（通常指锐角或者直角）叫做两直线的夹角。
设两直线 L 1 和 L 2 L_1和L_2 L1和L2的方向向量依次为 s ⃗ 1 = ( m 1 , n 1 , p 1 ) 和 s ⃗ 2 = ( m 2 , n 2 , p 2 ) \vec s_1=(m_1,n_1,p_1)和\vec s_2=(m_2,n_2,p_2) s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),则两向量夹角余弦公式为：
cos ϕ = ∣ m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 P 2 ∣ m 1 2 + n 1 2 + p 1 2 ⋅ m 2 2 + n 2 2 + p 2 2 \cos\phi=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1P_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\cdot\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}} cosϕ=m12+n12+p12⋅m22+n22+p22∣m1m2+n1n2+p1P2∣
结论：
- L 1 ⊥ l 2 ⇔ s ⃗ 1 ⊥ s ⃗ 2 ⇔ m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0 L_1\perp l_2 \Leftrightarrow \vec s_1\perp \vec s_2\Leftrightarrow m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0 L1⊥l2⇔s1⊥s2⇔m1m2+n1n2+p1p2=0
- L 1 ∥ l 2 ⇔ s ⃗ 1 ∥ s ⃗ 2 ⇔ m 1 m 2 = n 1 n 2 = p 1 p 2 L_1\parallel l_2 \Leftrightarrow \vec s_1\parallel \vec s_2\Leftrightarrow \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2} L1∥l2⇔s1∥s2⇔m2m1=n2n1=p2p1
4 直线与平面的夹角
4.1 定义
直线与其在平面上投影直线所形成的夹角 ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ π 2 ) \phi(0\le\phi\le\frac{\pi}{2}) ϕ(0≤ϕ≤2π),称为直线与平面的夹角。
4.2 夹角的正弦公式
如下图4-1所示:
直线L的方向向量 s ⃗ = ( m , n , p ) \vec s=(m,n,p) s=(m,n,p),平面 π 的法线向量 n ⃗ = ( A , B , C ) \pi的法线向量\vec n=(A,B,C) π的法线向量n=(A,B,C),有
sin ϕ = ∣ A m + B n + C p A 2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2 \sin\phi=\frac{|Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}} sinϕ=A2+B2+C2m2+n2+p2∣Am+Bn+Cp
结论：
- L ⊥ π ⇔ s ⃗ ∥ n ⃗ ⇔ A m = B n = C p L\perp \pi \Leftrightarrow \vec s\parallel \vec n\Leftrightarrow \frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p} L⊥π⇔s∥n⇔mA=nB=pC
- L ∥ π ⇔ s ⃗ ⊥ n ⃗ ⇔ A m + B n + C p = 0 L\parallel \pi \Leftrightarrow \vec s\perp \vec n\Leftrightarrow Am+Bn+Cp=0 L∥π⇔s⊥n⇔Am+Bn+Cp=0
5 例题
例2 求过点 ( 1 , − 2 , 4 ) 且与平面 2 x − 3 y + z − 4 = 0 (1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0 (1,−2,4)且与平面2x−3y+z−4=0垂直的直线的方程。
解：设直线 L 的方向向量 s ⃗ = ( m , n , p ) ∵ 直线与平面垂直 ∴ s ⃗ ∥ 平面的法线向量 n ⃗ n ⃗ = ( 2 , − 3 , 1 ) , 有 取 s ⃗ = ( 2 , − 3 , 1 ) 直线的对称式方程： x − 1 2 = y + 2 − 3 = z − 4 1 解：设直线L的方向向量\vec s=(m,n,p)\\ \because 直线与平面垂直 \therefore \vec s\parallel 平面的法线向量\vec n\\ \vec n=(2,-3,1),有\\ 取\vec s=(2,-3,1)\\ 直线的对称式方程：\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-4}{1} 解：设直线L的方向向量s=(m,n,p)∵直线与平面垂直∴s∥平面的法线向量nn=(2,−3,1),有取s=(2,−3,1)直线的对称式方程：2x−1=−3y+2=1z−4
例3 求过点 ( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 x + 1 3 = y − 1 2 = z − 1 (2,1,3)且与直线\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1} (2,1,3)且与直线3x+1=2y−1=−1z垂直的的直线方程。
解：过点 M 0 ( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 L : x + 1 3 = y − 1 2 = z − 1 垂直的平面方程方程为 3 ( x − 2 ) + 2 ( y − 1 ) − ( z − 3 ) = 0 即 3 x + 2 y − z − 5 = 0 ( 4 − 1 ) 令 x + 1 3 = y − 1 2 = z − 1 = t 直线 L 的参数式方程： { x = 3 t − 1 y = 2 t + 1 z = − t 带入 ( 4 − 1 ) 得， t = 3 7 ∴ 平面与直线 L 的交点坐标 M 1 ( 2 7 , 13 7 , − 3 7 ) ∴ M 0 M 1 ⃗ = ( − 12 7 , 6 7 , − 24 7 ) 取 s ⃗ = ( 2 , − 1 , 4 ) ∴ 直线对称式方程： x − 2 2 = y − 1 − 1 = z − 3 4 解：过点M_0(2,1,3)且与直线L:\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}垂直的平面方程方程为\\ 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0即 3x+2y-z-5=0\quad(4-1)\\ 令\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}=t \\ 直线L的参数式方程： \begin{cases} x=3t-1\\ y=2t+1\\ z=-t \end{cases}\\ 带入(4-1)得，t=\frac{3}{7}\\ \therefore 平面与直线L的交点坐标M_1(\frac{2}{7},\frac{13}{7},-\frac{3}{7})\\ \therefore \vec{M_0M_1}=(-\frac{12}{7},\frac{6}{7},-\frac{24}{7})\\ 取\vec s=(2,-1,4)\\ \therefore 直线对称式方程：\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{4} 解：过点M0(2,1,3)且与直线L:3x+1=2y−1=−1z垂直的平面方程方程为3(x−2)+2(y−1)−(z−3)=0即3x+2y−z−5=0(4−1)令3x+1=2y−1=−1z=t直线L的参数式方程：⎩ ⎨ ⎧x=3t−1y=2t+1z=−t带入(4−1)得，t=73∴平面与直线L的交点坐标M1(72,713,−73)∴M0M1=(−712,76,−724)取s=(2,−1,4)∴直线对称式方程：2x−2=−1y−1=4z−3
6 平面束方程
若直线L：
{ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ( π 1 ) A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 ( π 1 ) \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0(\pi_1)\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_1=0(\pi_1)\\ \end{cases} {A1x+B1y+C1z+D1=0(π1)A2x+B2y+C2z+D1=0(π1)
其中 A 1 , B 1 , C 1 与 A 2 , B 2 , C 2 A_1,B_1,C_1与A_2,B_2,C_2 A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例，则 A 1 x + B 1 y + C 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z ) = 0 A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z)=0 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2z)=0
能够表示通过直线L的所有平面（除 π 2 \pi_2 π2以外)，称为通过直线L的平面束方程。
例4 求直线
{ x + y − z − 1 = 0 x − y + z + 1 = 0 \begin{cases} x+y-z-1=0\\ x-y+z+1=0 \end{cases} {x+y−z−1=0x−y+z+1=0
在平面 x + y + z = 0 x+y+z=0 x+y+z=0上投影的直线。
过直线平面束方程： x + y − z − 1 + λ ( x − y + z + 1 ) = 0 化简： ( 1 + λ ) x + ( 1 − λ ) y + ( λ − 1 ) z + ( λ − 1 ) = 0 ( 4 − 1 ) 平面与 x + y + z = 0 垂直的条件： ( 1 + λ ) + ( 1 − λ ) + ( λ − 1 ) = 0 解得 , λ = − 1 , 带入（ 4 − 1 ）得投影平面方程： y − z − 1 = 0 ∴ 投影直线方程为： { y − z − 1 = 0 x + y + z = 0 过直线平面束方程：x+y-z-1+\lambda(x-y+z+1)=0\\ 化简：(1+\lambda)x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)z+(\lambda-1)=0 \quad(4-1)\\ 平面与x+y+z=0垂直的条件：(1+\lambda)+(1-\lambda)+(\lambda-1)=0\\ 解得,\lambda=-1,带入（4-1）得投影平面方程：y-z-1=0\\ \therefore 投影直线方程为： \begin{cases} y-z-1=0\\ x+y+z=0 \end{cases} 过直线平面束方程：x+y−z−1+λ(x−y+z+1)=0化简：(1+λ)x+(1−λ)y+(λ−1)z+(λ−1)=0(4−1)平面与x+y+z=0垂直的条件：(1+λ)+(1−λ)+(λ−1)=0解得,λ=−1,带入（4−1）得投影平面方程：y−z−1=0∴投影直线方程为：{y−z−1=0x+y+z=0
结语
❓QQ:806797785
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参考：
[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 下册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p30-36.
[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p54.