0802数量积向量积混合积-向量代数与空间解析几何

1 两向量的数量积

1.1 引例

• 引例如上图所示恒力F沿直线做功
  $$W=|F||vecs|\cos \theta$$

1.2 定义

设有两个向量$a,b,两向量夹角为\theta$,称数

$|a||b|\cos \theta$

叫做向量$a,b$的数量积，记作$a\cdot b$,即

$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$

说明：

• $F沿直线位移s$所做的功为：$W=F\cdot s$

• $a\cdot 0=0$

• 投影的数量积表示
  $$\begin{gathered} a\cdot b=|a|\cdot |b|\cdot \cos \theta \\ =|a|\cdot Pi{j}_{a}b \\ \therefore Pi{j}_{a}b=\frac{a\cdot b}{|a|}=e_a\cdot b \end{gathered}$$

1.3 推论

两个重要的推论：

1. $a\cdot a=|a{|}^2$
2. 两个非零向量$\vec a,\vec b| $,则 $a\perp b\iff a\cdot b=0$

1.4 运算规律

• 交换律：$a\cdot b=b\cdot a$
• 分配律：$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
• 结合律：$(\lambda a)\cdot b=\lambda (a\cdot b)$

注：

1. $(a+b{)}^2=a^2+2a\cdot b+b^2$,即$|a+b{|}^2=|a{|}^2+2|a||b|\cos \theta +|b{|}^2$为余弦定理。

1.4 数量积的坐标表示

设$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_2)$,则

• $a\cdot b=(x_1{x}_2,y_1{y}_2,z_1{z}_2)$
• $\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x{1}^2+y_1^2+z_1{I}^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^{I}2}}$

例1 已知三点$M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2)，求\angle AMB$
$$\begin{gathered} 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) \\ \angle AMB=\frac{MA\cdot MB}{|MA||MB|} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2} \\ \therefore \angle AMB=\frac{\pi }{3} \end{gathered}$$

例2 已知$a=(2,2,1),b=(3,4,-2)，求Pi{j}_{a}b$
$$\begin{gathered} 解：|a|=3,e_a=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}) \\ \therefore Pi{j}_{a}b=e_a\cdot b=2+\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=4 \end{gathered}$$

2 两向量的向量积

2.1 定义

设向量$c$有两个向量$a,b，夹角为\theta$按下列方式定出：

$|c|=|a||b|\sin \theta$；$c$的方向垂直于$a于b$所决定的平面，方向按右手规则从$a$转向$b$确定。向量$c$叫做向量$a与b$的向量积，记作$a\times b$.

注：右手规则，如下图2.1-1所示：

四指握的方向为$a到b$的转向，大拇指指的方向即为向量积的方向。

注：

1. $c\perp a,c\perp b$

2.2 重要结论

1. $a\times a=0$

2. 两非零向量$a,b$,则$a\parallel b\iff a\times b=0$

2.3 几何意义（向量积模）

如下图2.3-1所示：

以$a,b$为邻边做平行四边形，则$|a\times b|=|a|\cdot |b|\sin \theta =S_{平行四边形}$，即$|a\times b|$表示以$a,b$为邻边的平行四边形的面积。

2.4 向量积的运算规律

1. $a\times b=-b\times a$
2. 分配律：$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$
3. 结合律：$(\lambda a)\times b=\lambda (a\times b)$

2.5 向量积的坐标表示

设$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_2)$,则
$$\begin{gathered} a\times b=(x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k)\times (x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k) \\ =(y_1{z}_2-z_1{y}_2)i+(x_1{z}_2-z_1{x}_2)j+(x_1{y}_2-y_1{x}_2)k \end{gathered}$$
用三阶行列式表示为：

a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = i ⃗ ⋅ ∣ y 1 z 1 y 2 z 2 ∣ − j ⃗ ∣ x 1 z 1 x 2 z 2 ∣ + k ⃗ ⋅ ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ = ( y 1 z 2 − z 1 y 2 ) ⋅ i ⃗ − ( x 1 z 2 − z 1 x 2 ) ⋅ j ⃗ + ( x 1 y 2 − y 1 x 2 ) ⋅ k \vec a\times\vec b= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{vmatrix}\\ =\vec i\cdot \begin{vmatrix} y_1&z_1\\ y_2&z_2\\ \end{vmatrix} - \vec j \begin{vmatrix} x_1&z_1\\ x_2&z_2 \end{vmatrix}+\vec k\cdot \begin{vmatrix} x_1&y_1\\ x_2&y_2 \end{vmatrix}\\ =(y_1z_2-z_1y_2)\cdot\vec i-(x_1z_2-z_1x_2)\cdot\vec j+(x_1y_2-y_1x_2)\cdot k a ×b = ​i x1​x2​​j ​y1​y2​​k z1​z2​​ ​=i ⋅ ​y1​y2​​z1​z2​​ ​−j ​ ​x1​x2​​z1​z2​​ ​+k ⋅ ​x1​x2​​y1​y2​​ ​=(y1​z2​−z1​y2​)⋅i −(x1​z2​−z1​x2​)⋅j ​+(x1​y2​−y1​x2​)⋅k

例4 已知$c\perp a,且c\perp b.|c|=3，求c$.其中，$a=(2,1,-1),b=(1,-1,2)$
解： a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ 2 1 − 1 1 − 1 2 ∣ = i ⃗ − 5 j ⃗ + ( − 3 ) k ⃗ e a ⃗ × b ⃗ = ( 1 35 , − 5 35 , − 3 35 ) ∴ c ⃗ = ± 3 e a ⃗ × b ⃗ = ( ± 3 35 , ± 15 35 , ± 9 35 ) 解：\vec a\times\vec b= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 2&1&-1\\ 1&-1&2\\ \end{vmatrix}\\ =\vec i-5\vec j+(-3)\vec k\\ e_{\vec a\times\vec b}=(\frac{1}{\sqrt{35}},\frac{-5}{\sqrt{35}},\frac{-3}{\sqrt{35}})\\ \therefore \vec c=\pm3e_{\vec a\times \vec b}=(\pm\frac{3}{\sqrt{35}},\pm\frac{15}{\sqrt{35}},\pm\frac{9}{\sqrt{35}}) 解：a ×b = ​i 21​j ​1−1​k −12​ ​=i −5j ​+(−3)k ea ×b ​=(35 ​1​,35 ​−5​,35 ​−3​)∴c =±3ea ×b ​=(±35 ​3​,±35 ​15​,±35 ​9​)
例5 已知$A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求S_{△ABC}$
S △ A B C = 1 2 ∣ A B ⃗ × A C ⃗ ∣ = 1 2 ∥ i ⃗ j ⃗ k ⃗ 2 2 2 1 2 4 ∥ = 1 2 4 2 + ( − 6 ) 2 + 2 2 = 14 S_{\triangle{ABC}}=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|\\ =\frac{1}{2} \begin{Vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 2&2&2\\ 1&2&4\\ \end{Vmatrix}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{4^2+(-6)^2+2^2}=\sqrt{14} S△ABC​=21​∣AB ×AC ∣=21​ ​i 21​j ​22​k 24​ ​=21​42+(−6)2+22 ​=14 ​

3 向量的混合积

3.1 混合积的定义

设已知三个向量$a,b,c$,先做向量$a和b的向量积a\times b$,把得到的向量与$c做数量积(a\times b)\cdot c$,这样得到的数量叫做三向量的混合积，记作$[abc]$

3.2 混合积的坐标表示

设$a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_2),c=(x_3,y_3,z_3)$，则

​
[ a ⃗ b ⃗ c ⃗ ] = ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = ∣ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ∣ [\vec a\vec b\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\\ \begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ \end{vmatrix} [a b c ]=(a ×b )⋅c = ​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​z1​z2​z3​​ ​

3.3 混合积的几何意义

如上图所示向量积的混合积绝对值表示以$a,b,c$为棱的平行六面体的体积。

3.4 运算规则

• $[abc]=[bca]=[cab]=-[acb]=-[cba]=-[bac]$

3.5 三向量共面

$a,b，c共面\iff [abc]=0$

例i6 已知$(a\times b)\cdot c=2,则[(a+b)\times (b+c)]\cdot (c+a)=?$
$$\begin{gathered} 解： \\ [(a+b)\times (b+c)]\cdot (c+a)= \\ (a\times b+a\times c+b\times b+b\times c)\cdot (c+a) \\ =[abc]+[aba]+[acc]+[aca]+[bcc]+[bca]=2[abc]=4 \end{gathered}$$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 下册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p14-22.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p52.