不定积分练习

不定积分练习

在看视频的时候遇到了一道比较有趣的题,在这里给大家分享一下。

不定积分练习_第1张图片

题目

计算 ∫ ( 1 + x − 1 x ) e x + 1 x d x \int(1+x-\dfrac 1x)e^{x+\frac 1x}dx (1+xx1)ex+x1dx

解:
\qquad 原式 = ∫ e x + 1 x d x + ∫ x ( 1 − 1 x 2 ) e x + 1 x d x =\int e^{x+\frac 1x}dx+\int x(1-\dfrac{1}{x^2})e^{x+\frac 1x}dx =ex+x1dx+x(1x21)ex+x1dx

= ∫ e x + 1 x d x + ∫ x d ( e x + 1 x ) \qquad\qquad =\int e^{x+\frac 1x}dx+\int xd(e^{x+\frac 1x}) =ex+x1dx+xd(ex+x1)

= ∫ e x + 1 x d x + x e x + 1 x − ∫ e x + 1 x d x \qquad\qquad =\int e^{x+\frac 1x}dx+xe^{x+\frac 1x}-\int e^{x+\frac 1x}dx =ex+x1dx+xex+x1ex+x1dx

= x e x + 1 x \qquad\qquad =xe^{x+\frac 1x} =xex+x1

这道题考查了分部积分法,先将式子分成两部分,再将 ∫ x ( 1 − 1 x 2 ) e x + 1 x d x \int x(1-\dfrac{1}{x^2})e^{x+\frac 1x}dx x(1x21)ex+x1dx看作 u ( x ) = x , v ( x ) = e x + 1 x u(x)=x,v(x)=e^{x+\frac 1x} u(x)=x,v(x)=ex+x1来进行分部积分,最后将相同的;两部分抵消掉即可得出答案。

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