图论——最大匹配

图论——最大匹配

• 匹配：定义一个图$G=(E,V)$ ，匹配是指边集的一个子集$V^{\prime }\subseteq V$。在$V^{\prime }$中，没有任意一个节点$u$，使得$u$与$a$边相连又与$b$边相连（$a\ne b$）。
• 极大匹配：在一个匹配$M$中，再也不能添加一个边$a$使得$M\cup \{a\}$也是一个$G$的匹配。
• 最大匹配：在所有极大匹配中，边集数量最大的那个就是最大匹配，最大匹配可能不唯一。

树的最大匹配

P1623

使用树形DP的方式解决即可。

struct Wint : vector<int>
{
    Wint() { clear(); }
    Wint(int x)
    {
        clear();
        while (x)
            push_back(x % 10), x /= 10;
    }
    void operator~()
    {
        for (int i = 0; i + 1 < size(); i++)
            (*this)[i + 1] += (*this)[i] / 10, (*this)[i] %= 10;
        while (!empty() && back() > 9)
        {
            int tmp = back() / 10;
            back() %= 10;
            push_back(tmp);
        }
        while (!empty() && !back())
            pop_back();
    }
    void operator+=(const Wint &x)
    {
        //		print(),putchar('+'),x.print();
        if (size() < x.size())
            resize(x.size());
        for (int i = 0; i < x.size(); i++)
            (*this)[i] += x[i];
        ~*this;
        //		putchar('='),print(),putchar('\n');
    }
    friend Wint operator*(const Wint &x, const Wint &y)
    {
        //		x.print(),putchar('*'),y.print();
        Wint z;
        if (!x.size() || !y.size())
            return z;
        z.resize(x.size() + y.size() - 1);
        for (int i = 0; i < x.size(); i++)
            for (int j = 0; j < y.size(); j++)
                z[i + j] += x[i] * y[j];
        ~z;
        //		putchar('='),z.print(),putchar('\n');
        return z;
    }
    void print() const
    {
        if (empty())
        {
            putchar('0');
            return;
        }
        for (int i = size() - 1; i >= 0; i--)
            putchar('0' + (*this)[i]);
    }
};

struct Edge
{
    short to;
    short nxt;
} e[2005];
short head[1005];
short tot;

void add(int u, int v)
{
    tot++;
    e[tot].to = v;
    e[tot].nxt = head[u];
    head[u] = tot;
}

short dp[1005][2]; // 0: 节点不与子节点匹配的最大匹配数 1: 节点与子节点匹配的最大匹配数
Wint num[1005][2][510]; // 0: 节点不与子节点匹配的最大匹配数的方案数 1: 节点与子节点匹配的最大匹配数的方案数

void tdp(int u, int r)
{
    short sum = 0;
    for (int ne = head[u]; ne; ne = e[ne].nxt)
    {
        int to = e[ne].to;
        if (to == r)
            continue;
        tdp(to, u);
        dp[u][0] += max(dp[to][0], dp[to][1]);
        sum += max(dp[to][0], dp[to][1]);
    }

    for (int ne = head[u]; ne; ne = e[ne].nxt)
    {
        int to = e[ne].to;
        if (to == r)
            continue;
        dp[u][1] = max(dp[u][1], short(sum - max(dp[to][0], dp[to][1]) + dp[to][0] + 1));
    }
}

void ndp(int u, int r)
{
    num[u][0][0] = 1;
    for (int ne = head[u]; ne; ne = e[ne].nxt)
    {
        int to = e[ne].to;
        if (to == r)
            continue;
        ndp(to, u);
        for (int i = 509; i > 0; i--)
        {
            // 更新不与子节点匹配的方案
            num[u][1][i] +=
                (i - dp[to][1] >= 0 ? (dp[to][1] != 0 ? num[to][1][dp[to][1]] : 0) * num[u][1][i - dp[to][1]] : 0);
            num[u][1][i] +=
                (i - dp[to][0] >= 0 ? (dp[to][0] != 0 ? num[to][0][dp[to][0]] : 0) * num[u][1][i - dp[to][0]] : 0);
            
            // 更新与子节点匹配的方案
            num[u][1][i] +=
                (i - dp[to][0] - 1 >= 0 ? num[to][0][dp[to][0]] * num[u][0][i - dp[to][0] - 1] : 0);

            num[u][0][i] +=
                (i - dp[to][1] >= 0 ? num[to][1][dp[to][1]] * num[u][0][i - dp[to][1]] : 0);
            num[u][0][i] +=
                (i - dp[to][0] >= 0 ? (dp[to][0] != 0 ? num[to][0][dp[to][0]] : 0) * num[u][0][i - dp[to][0]] : 0);
        }
    }
}

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int r, c;
        cin >> r >> c;
        for (int j = 0; j < c; j++)
        {
            int s;
            cin >> s;
            add(r, s);
            add(s, r);
        }
    }
    tdp(1, 1);
    ndp(1, 1);
    ll mx = max(dp[1][0], dp[1][1]);
    num[1][0][mx] += num[1][1][mx];

    cout << mx << endl;
    num[1][0][mx].print();
}

int main()
{
    FR;
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    solve();
    return 0;
}