【离散数学】图

目录

前言 

图的定义

图的表示

图的操作

邻接点与邻接边

图的分类

握手定理

图的同构

通路与回路

可达与距离

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前言 

图是一种非常重要的数据结构，它可以用来描述实际生活中的很多问题，比如社交网络、交通路线等。本篇博客将会介绍图的基本概念和相关算法。

图的定义

图是一个由顶点和边构成的集合，其中顶点表示图中的元素，边则表示顶点之间的关系。这些关系可以是任意的类型，比如距离、连接等。

图的表示

图可以有多种表示方式，其中最常见的方法是邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，其中每个元素代表一对顶点之间是否存在边，而邻接表则是一个链表，其中每个节点表示一个顶点，节点中存储了该顶点相邻的所有顶点。

图的操作

对于图的操作包括添加和删除顶点及边，以及查询某个顶点的相邻顶点等。

邻接点与邻接边

对于图中的一个顶点，其相邻的顶点称为邻接点，相邻的边称为邻接边。

图的分类

根据图的性质，图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、稠密图和稀疏图等。

握手定理

对于一个无向图，它的所有顶点的度数之和等于边数的两倍。这个定理被称为握手定理。例如，一个五角星有5个顶点，每个顶点的度数都是2，因此它的边数为5。

图的同构

两个图若存在一一对应关系，能够将一个图的顶点与另一个图的顶点一一对应，并且保持它们的相邻关系不变，则这两个图是同构的。

通路与回路

对于一个有向图或无向图，如果图中两个顶点之间存在一条路径，则称这两个顶点是连通的。如果这条路径的第一个点和最后一个点是同一个顶点，则这条路径称为一个回路。

可达与距离

在有向图中，我们可以用可达性算法来计算从一个顶点到另一个顶点是否存在一条路径。如果存在路径，则两个顶点是可达的。而距离则是指两个顶点之间路径的长度，可以使用最短路径算法来计算。