《离散数学》:集合、关系和函数

〇、前言

这章将会对集合、以及集合之上的关系、以及两个集合之间的映射情况做一个细致的讨论。集合作为数学和其他领域中的基础概念,具有广泛的应用和重要的地位。它为数学建立了基本的体系和推理方法,为各个领域的研究和应用提供了一种统一的描述和分析工具。

一、集合

集合是一种很简单的概念,集合的描述方法有多种,比如列举法、描述法。集合只是一个对象,和集合的包含或者相等都是在集合上的一些关系
另外集合还可以参与到运算之中,比如交集并集补集、以及对称差等。人们发现集合进行运算时,会遵循一定的规律,进行抽象后,就能得到集合运算律,比如:幂等律、交换律、吸收律等等。如果继续进行抽象,比如对称差运算,它其实是一个群(Group),后续会继续讨论。

接着就会讨论到集合的划分和覆盖

集合的划分就是对元素进行分类(不一定有共同特征,满足划分概念就行),当然分类的时候,元素 a 自然不能同时出现在不同的类中。事实上,每一类都是后面要讨论到的一个恒等关系。集合的覆盖就是集合 S 所有的分类的并集就是集合 S 本身。

集合的元素的计数中,如果两个元素相同,那么可以认为这两个元素是同一元素,计数的时候只需要计数一次。

对于无限集合,情况就比较复杂了,这其实涉及到了无穷的分类:

  • 可数无穷(Countable Infinity):一个集合被称为可数无穷,如果它的与自然数集(1, 2, 3, …)的势相同。换句话说,可数无穷集合的元素可以用自然数进行一一对应。例如,自然数集、整数集和有理数集都是可数无穷集合。

  • 不可数无穷(Uncountable Infinity):一个集合被称为不可数无穷,如果它的大于自然数集的势。不可数无穷集合的元素无法用自然数进行一一对应。最著名的不可数无穷集合是实数集和实数轴上的点的集合。

比如,偶数构成的集合和自然数构成的集合甚至于整数、有理数构成的集合,元素个数都是一样多的,这点比较违反常识。但实际上,如果进行一一对应这种操作,就会发现它们是一一映射的,映射规则可以随便设置,只要合理就好。

然后就是幂集了,幂集就是集合 A 的全体子集构成的集合,也就是说,幂集的每个元素都是 A 的子集。

二、二元关系和函数

二元关系是指一个集合中的元素之间的某种关联关系或联系。它可以是在同一个集合中的元素之间的关系,也可以是在不同集合中的元素之间的关系。

具体来说,一个二元关系可以表示为一个有序对的集合。假设我们有一个集合A,其中的元素可以用a、b、c等符号表示。那么,二元关系R可以表示为一个由有序对(a, b)组成的集合,其中a是集合A中的元素,b是集合A中的元素,且(a, b)满足某种关联条件或关系。

(一)序偶与笛卡尔积

二元关系中,为了描述两个元素的关系,引入了序偶的概念。序偶中的第一个元素与第二个元素有着某种关系,很明显通常情况下这种关系是不可交换的。有了序偶以后,就可以用特定的方法生成好多的序偶,自然而言的就引入了笛卡尔积的概念。笛卡尔积可以简单的理解为一个集合 A 与另一个集合 B 之间的关系。

定义:设A和B为两个集合,它们的笛卡尔积记作A × B,表示由所有形如(a, b)的有序对组成,其中a ∈ A,b ∈ B。

  • 元素个数:如果集合A的元素个数为n,集合B的元素个数为m,那么它们的笛卡尔积A × B的元素个数为n × m。换句话说,笛卡尔积的元素个数等于两个集合的元素个数的乘积。

  • 交换律:笛卡尔积不满足交换律,即A × B 不等于 B × A

  • 结合律:对于三个集合A、B和C,它们的笛卡尔积满足结合律,即(A × B) × C = A × (B × C)。换句话说,无论怎样对多个集合进行笛卡尔积运算,最终的结果是相同的。

  • 空集:如果一个集合的笛卡尔积与空集进行运算,结果仍然是空集。即,A × ∅ = ∅。

  • 单位元:如果一个集合与单元素集合{()}进行笛卡尔积运算,结果等于原集合本身。即,A × {()} = A。

  • 笛卡尔积对 交集和并集满足分配率

由于笛卡尔积不满足封闭性,我们无法进一步讨论它的其它性质,但是在后面的关系的符合中就可以讨论了!

(二)关系及其表示

一个集合中假设有 m 个元素,那么它能形成的子集一共有 2^m个,其中包含空集
同样,笛卡尔积中有m*n个元素,每一个元素都是一个序偶。那么这些序偶形成的每一个子集都是一个关系。其中空集就是空关系。那么一共能形成 2^m*n个关系。

在这些关系中,有两个个关系比较特殊,分别是空关系、全域关系。另外,如果关系是在 A 自己上的,那么还有一个恒等关系。这就是三个特殊的关系!

对于关系的表示,有 4 个常见的方法:

  • 枚举法
  • 谓词公式法,就是集合的描述法
  • 关系图法
  • 矩阵法:这种表示法非常优秀,它能直观的看到各种关系,也能存储到计算机中后,用各种算法进行操作

(三)关系的性质

以下所有的讨论,都是集合 A 上自己对自己的关系。关系可以进行分类:

  • 自反关系
  • 反自反关系
  • 对称关系
  • 反对称关系
  • 传递关系

1、自反关系

简言之,就是所有的元素 a 对 a 也有关系。

  • 关系图的特点:每个节点都是自回路
  • 关系矩阵的特点:对角线的元素都是 1

2、反自反关系

简言之,就是没有一个元素 a 对 a 有关系。

  • 关系图的特点:没有自回路
  • 关系矩阵的特点:对角线的元素都是 0

3、对称关系

简言之,就是如果存在那么一定有

  • 关系图的特点:如果两个节点之间有边,那么一定有两条边
  • 关系矩阵的特点:A与 A的转置矩阵相等

4、反对称关系

简言之,如果存在那么一定不能有

  • 关系图的特点:如果两个节点有边,只有一条边
  • 关系矩阵的特点:矩阵 A 和 A 的转置进行逻辑与之后,除了主对角线,其他元素全部为 0。

5、传递关系

简言之,如果存在,,那么一定存在

  • 关系图的特点,任意两个结点如果有边,那么一定存在一个长度为 1 的边。
  • 矩阵关系的特点:这个比较复杂,需要用一些算法进行检测,肉眼看不出来。

以上就是关系的一些性质。需要注意的是:

  • 一个关系既可以是非自反的,也可以是非反自反的,它们不是二元对立的。
  • 一个关系既可以是自反的,也可以是反自反的,什么关系呢?是空关系。这可以在数学上证明,不再赘述。
  • 一个关系既可以是对称的、也可以是反对称的,比如恒等关系
  • 一个关系既可以是非对称的,也可以是非凡对称的,比如{<1,2>,<2,5>,<5,2>}

(四)关系的复合

这一主题可以说是关系研究中的核心了。
符合关系的就是两种关系进行运算,比如:{<1,3>}o{<3,5>}={<1,5>},这个运算结果可以透露出两个关系的某些关联

人们发现,两个关系 A与 B进行复合运算后,与矩阵逻辑乘(里面的加法也是逻辑加) AxB的运算结果一致。

究其原因,是因为在找符合关系时,在关系矩阵A中如果有、在关系矩阵 B 中有,这意味着 矩阵 A 的 a 行 b列,与矩阵 B 的 b 行 c 列都是 1,那么它们相乘后,a行 c 列就是 1,这正是两个关系复合的意义所在!因此矩阵运算就成为了关系运算的底层抽象

因此这极大得简化了符合关系的求解,如虎添翼。

(五)逆关系

简言之,求一个关系的逆关系,就是将所有的元素(序偶)的第一元素和第二元素互换位置。

在关系矩阵A中,就是对A进行转置,就得到了关系A的一个逆关系。

在求逆的过程中,就是在求转置,因此这里求逆的操作和矩阵求转置的算法一模一样,注意不是求逆,求转置。

(六)关系闭包运算

什么叫做闭包?关系闭包(Closure of a Relation)是关系理论中的一个概念,它表示通过迭代操作扩展原始关系,使其具有某些附加性质。关系闭包的目的是将原始关系扩展为满足特定性质的最小闭包。说白了就是对集合的一种最小拓展!

给定一个关系R,它可以是一个二元关系或更高阶的关系。关系闭包操作可以应用于以下几种类型的关系:

  • 传递闭包(Transitive Closure):传递闭包是通过迭代操作扩展关系R,使其具有传递性。即,将R中的有序对(a, b)和(b, c)扩展为(a, c),以确保关系中的元素在传递性方面闭合。

  • 自反闭包(Reflexive Closure):自反闭包是通过迭代操作扩展关系R,使其具有自反性。即,在R中添加缺失的自反对(a, a),以确保关系中的元素在自反性方面闭合。

  • 对称闭包(Symmetric Closure):对称闭包是通过迭代操作扩展关系R,使其具有对称性。即,对于R中的每个有序对(a, b),添加对应的有序对(b, a),以确保关系中的元素在对称性方面闭合。

关系闭包的求解可以通过不同的算法和方法来实现,例如华尔沙算法(Warshall Algorithm)用于计算传递闭包。

求解自反闭包、对称闭包的算法都很简单,直接逻辑加一个单位矩阵、转置矩阵就可以得到。而传递闭包则可以使用Warshall 算法来完成。

那么怎么判断一个关系是不是传递闭包呢?有两种思路:

  • 再来一次Warshall算法运算,如果结果和原来相同,那么就是传递闭包;
  • 由于传递闭包是由每个矩阵的幂并集运算得到的,因此只要它的幂运算都属于 A,即可。

(七)等价关系和等价类

等价关系:如果一个关系是自反的、对称的、传递的,那么R 就是一个等价关系。

在集合论和关系理论中,等价类是一种划分(partition)的概念,用于将集合中的元素划分为具有相同性质或关系的子集。等价类是一种等价关系的重要概念。换句话说,等价类是具有相同关系特征的元素的集合

具体来说,对于等价关系R,等价类的定义如下:

对于集合A中的任意元素a,[a] 表示由与 a 等价的所有元素组成的子集。

等价类的性质:等价类具有以下性质:

  • a. 反身性:对于任意元素a ∈ A,a ∈ [a],即一个元素属于它自身的等价类。

  • b. 相容性:对于任意元素a, b ∈ A,如果a 和 b 是等价的(即(a, b) ∈ R),则[a] = [b],即具有相同等价类的元素之间是相等的。

  • c. 互斥性:对于任意元素a, b ∈ A,如果a 和 b 不等价(即(a, b) ∉ R),则[a] ∩ [b] = ∅,即不同等价类的元素之间没有交集

  • 划分性质:等价类将集合A划分为多个不相交的子集,即每个元素属于且仅属于一个等价类。集合A是等价类的并集,即 A = [a₁] ∪ [a₂] ∪ … ∪ [aₙ],其中 a₁, a₂, …, aₙ 是 A 中的不同等价类的代表元素。

商集 A/R 就是集合 A 在关系 R 上的一个划分。这里用一个例子详细说明。

考虑到集合 T={1,2,3,4}和 T上的一个关系 R={<1,1>,<1,4>,<4,1>,<4,4>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}。很明显 R 是一个等价关系,另外有两个等价类:

  • [1]R=[4]R={1,4}
  • [2]R=[3]R={2,3}

集合 A关于 R的商集A/R ={{1,4},{2,3}}

很明显的两个定理:

  • 集合 A上的等价关系 R决定了 A 上的一种划分,该划分就是商集 A/R;
  • 集合 A 的一个划分确定 A 的元素间的一个等价关系。

换句话说,划分和等价关系是一一映射的,这就自然地引出了下一个定理: 设R 和 P 是非空集合 A 上的等价关系,如果 R=P,当且仅当 A/R=A/P

(八)相容关系

相容关系比上面的等价关系更弱,它只要求关系 R 具有自反性、对称性

(九)偏序关系

如果要考虑关系的次序,那么就得研究偏序关系。如果 R 是自反反对称的和传递的,那么 R 就是一个偏序关系

偏序关系中的任何一个元素,都能找到一个可比较的元素。于是就定义了全序关系和链以及反链。假设是一个偏序集

  • 链:如果 集合A的一个子集S中任意两个元素都是可以比较的,那么S 就是一个链;
  • 反链:如果 集合A的一个子集S中任意两个元素都是不可以比较的,那么S 就是一个反链;
  • 如果 A 自身构成一个链,则<<就是全序关系,且是一个全序集

究竟怎么理解“可比较”?我的理解是,如果两个元素可比较的,那么它们就是线性的,不是平行的。如果是不可比较的,那么它们就是平级的。

为了使得这种关系阐述起来更直观,书中介绍了“盖住”的概念,简单的说就是 a 如果有一个顶头上司 b,那么 b 就盖住了 a

对于一个偏序集,它的盖住关系是唯一的,所以可以用盖住的性质画出偏序集合图,或者哈斯图。

比如这个哈斯图中,{4,6,15,10}、{2,3,5}就是反链,里面的元素都是不可比较的;{1,3,9}、{1,2,4}就是两个
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1、极大元、极小元

换句话说,就是有一个集合 B 是集合 A 的子集,其中 A 构成一个偏序关系

  • 如果 B 中没有一个元素能盖住 b,那么 b 就是极大元;
  • 如果B 中的元素 b,没有可以覆盖的元素,那么 b 就是极小元。

在上图中,对于集合{2,3,5},极大元就是{2,3,5}、极小元也是{2,3,5};对于集合{ 1,3,5,9},极大元就是{5,9},极小元就是{1}

2、最大元、最小元

  • 如果 B 中所有的元素都是可以比较的,那么如果有一个最大元素 b,那么 b 就是极大元;
  • 如果 B 中所有的元素都是可以比较的,那么如果有一个最小元素 b,那么 b 就是极小元。

3、上界、下界

  • 对于 B 中任何一个元素 b,都有 x >> b,那么 x 就是一个上界;
  • 对于 B 中任何一个元素 b,都有 x << b,那么 x 就是一个下届;

4、最小上界、最大下界

最小上界、最大下界一定是上界、下界中的某个元素,它满足与B 中所有的元素可比较。

5、良序集

A的任何一个子集,都有最小元,则称为 A 为良序集。

整数不是良序集,这是因为良序集要求集合中的每个非空子集都有最小元素,而整数集合中的某些非空子集没有最小元素。比如:在整数集合中,一个非空子集可能没有最小元素的典型例子是负整数的集合。例如,考虑负整数的集合S = {..., -3, -2, -1},它是整数集合的一个子集。这个子集是非空的,但是没有最小元素,因为对于任何负整数n,总是存在一个更小的负整数n-1。但是自然数集合就是一个良序集。

任何一个良序集合,一定是全序集,因为良序集的所有元素都是可以比较的(如果a,b不可比较,那么他们就没有最小元,这与定义矛盾),这就形成了一个链,因此是全序集。

任何一个有限的全序集,一定是良序集,因为全序集是一个链,因此这个链的长度有限时,这个链的任何一段,一定也是有限的,因此一定有一个链尾,就是最小元。

(十)函数及其性质

函数的概念非常简单,按照函数的映射方式,可以分为三类:

  • 满射:B 中的每一个元素都能在 A 中找到像点;
  • 单射(入射):B 中的一个元素如果能在 A 中找到像点,那么只能找到一个;
  • 双射:满射且单射,就是一一映射

以上就是集合、关系和函数的一些看法,全文完,感谢阅读。

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