概率论与数理统计-第二章

第二章

随机变量：
定义： 设Ω为随机试验E的样本空间，若对于样本空间Ω中的每一个样本点ω，都有唯一确定的实数X(ω)与其对应，称X(ω)为随机变量，简记为X
说明：

• 随机实验的每一个结果都有唯一确定的实数X与其相对应，称X为随机变量
• 随机变量通常用大写英文字母X,Y,Z表示
  随机变量的取值则用相应的小写英文字母x,y,z表示
• 随机变量可分为两类，离散型和非离散型，非离散型主要是连续型

离散型随机变量:
定义： 随机变量的所有可能取值为有限个或者可列个，称这种随机变量为离散型随机变量

概率分布律：
定义： 设离散型随机变量X的全部可能取值为x₁,x₂ …,且相对应的x_i的概率取值为p_i，称该表达式为离散型随机变量的概率分布律,简称分布律
也可以用表格形式来表示

分布律的性质：

说明：
性质1： 随机变量的每个取值的概率都大于等于0
性质2： 随机变量所有取值的概率的和等于1

常见的离散型分布 ：

• 两点分布 ：
  随机变量X的取值只能是0和1，其分布律为
  其中概率0两点分布，两点分布又称为0-1分布或伯努利分布（Bernoulli），记为X~B(1,p)
• 二项分布:
  在n重伯努利试验中，若每次试验事件A发生的概率为p(0
  此时称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B(n,p)
  性质:
  
  说明：
  性质1： 每个事件发生的概率大于或等于0
  性质2： 所有事件的概率和等于1
  特别：当n=1时，二项分布变成两点分布 ，即：两点分布是二项分布的特例
• 泊松逼近： 二项分布的近似计算方法
  大于某一值可以转换为1-小于等于该值 泊松逼进 当试验次数n很大，直接计算二项分布的概率很麻烦，可以用二项分布的近似计算方法，泊松逼近，设X~B(n，p)即二项分布，当实验次数比较大，每次试验中A发生的概率p比较小，np的值又适中，通常n大于等于10，p小于等于0.1，np小于等于5有:50页，
  其中入=np
  3.泊松分布 若随机变量的分布律为48页 其中入>0，则称X服从参数为入的泊松分布，记为X~p(入) 性质 1随机变量X的概率都大于0 2所有概率的和为1 可查泊松分布表计算概率 1超几何分布
  若一共含有N个元素，其中M个元素具有特征A，其余N-M个元素具有特征B，从中随机抽取n个元素，则其中具有特征A的元素出现的概率
  X的分布律为51页 称，该随机变量X服从参数为n，M，N的超几何分布，记为X～H(Hyergeometric)(n，M，N)
  二项分布针对的是有放回抽样，超几何分布针对的是不放回抽样

注意
第六题和第8题的区别
注意p等于某一值得概率和小于某一直的概率的区别

随机变量落在某一区间内的概率
分布函数的定义和性质
定义
对于随机变量X，存在一个定义域为正无穷到负无穷的函数，且函数值等于随机变量X小于某一值x的概率，称该函数为随机变量的分布函数
直观意义
将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么Fx在点x处的函数值表示X落在区间负无穷到x内的概率
对于任意的a和b，a小于b，有
x大于a小于等于b的概率，等于x小于等于b的概率减去x小于等于a的概率，等于分布函数在点b的函数值减去分布函数在点a的函数值
如果随机变量X有n个取值，那么X的分布函数有n加1段，且随机变量X的所有可能取值为Fx的跳跃间断点
Fx的值不是随机变量X在x处的概率，而是X取不超过x的所有可能取值点的概率之和
分布函数的性质:
1.分布函数的函数值大于等于0小于等于1
2.分布函数单调不减(增函数的一种)，
3.分布函数的x趋近无穷大时值为1，趋近于负无穷时值为0
4.Fx在任一点xo处右连续
X小于x的概率等于x的函数减去右连续的值，也就是x的值

离散型随机变量的分布函数

几个规矩及概念

连续型随机变量及其概率密度
由于不能取各个点的概率来描绘连续型随机变量的概率分布，所以用概率密度来描述
定义
对于随机变量X的分布函数Fx，如果存在非负可积分的函数fx，x的取值范围为正无穷到负无穷，使得对任意实数x，有
分布函数Fx等于fx的从负无穷到x的积分，则称X为连续型随机变量，称fx为X的概率密度函数，简称概率密度
所以对于任意函数a，b，a小于b，有X大于a小于等于b的概率等于等于fx在a到b上的积分
因为x大于a小于等于b的概率等于b的分布函数

概率密度的性质
1.fx大于等于0
2.fx在负无穷到正无穷上的积分等于0
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。