离散数学知识点

商集

定义: R 是 A 上等价关系,由 R 的所有等价类构成的集合称之为 A 关于 R 的商集。记作 A/R。
A / R = { [ a ] R ∣ a ∈ A } A/R=\{[a]_R |a∈A\} A/R={[a]RaA}
例如, A={1,2,3,4,5,6,7} , R是A上的模3同余关系,则$ A/R= {[1]_R ,[2]_R ,[3]_R } ={{1,4,7},{2,5},{3,6}}$

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由划分确定等价关系:

A = { A 1 , A 2 , … , A n } A=\{A_1 ,A_2 ,…,A_n\} A={A1,A2,,An}是X的一个划分,则可以构造一个X上的等价关系R,使得X/R=A。

构造方法: R = A 1 2 ∪ A 2 2 ∪ , … , ∪ A n 2 R=A_1^2∪A_2^2∪,…,∪A_n^2 R=A12A22,,An2 其中 A i 2 = A i × A i A_i^2 = A_i×A_i Ai2=Ai×Ai

也就是每个独立子图都构成等价关系(自反、对称、传递)

相容关系

定义:给定集合 X 上的关系 r , 若 r 是自反的对称的,则 r 是A 上相容关系。

即,刨去传递性

相容关系关系矩阵的特点:

主对角线都是1(自反性决定的);

沿主对角线对称的元素,要么全是0,要么全是1(对称性决定的);

相容类:设 r 是集合X上的相容关系, C ⊆ X C\subseteq X CX,如果对于 C 中任意元素x,y有$\in r $,称 C 是 r 的一个相容类。

最大相容类:设 r 是集合X上的相容关系,C是 r 的一个相容类,如果C不 能被其它相容类所真包含,则称C是一个最大相容类。

完全覆盖:r是中的相容关系,由r的所有最大相容类为元素 构成的集合,称之为X的完全覆盖。记作Cr(X)。

次序关系

偏序关系(partial order relation)

定义:R是A上自反、反对称和传递的关系,则称R是A上的偏序关系,并称是偏序集。

用符号“≼”表示任意偏序关系,但要注意,这里的“≼”不一定 是“小于或等于”的含义。

偏序关系有向图的特点:

每个节点都有环(自反性);

不同节点之间可以没有边,但如果有边,至多只有一条边;(反对称性)

由于有(a,b) ∈R 和(b,c)∈R, 则(a,c) ∈R;(传递性)

偏序关系的简化关系图:

(1)自反性:每个顶点都有环,省去。

(2)反对称性:两个不同顶点间只可能有一条边,那么按照左→右,或下→上 的方向依偏序关系安置顶点,可省略箭头。

(3)传递性:由于有(a,b)∈R ,(b,c)∈R 则(a,c) ∈R,故只画(a,b),(b,c)对应 的边,省略边(a,c)。

Hasse图:设≼是A上的一个偏序关系,如果a≼b ,则将a画在b的下面 ,且不c,使a≼c,c≼b,则a,b间用直线连接。并符合简 化的关系图的绘制,称这样得到关系图为Hasse图。

全序(线序、链)关系:集合A上半序关系R,如果 ∀ a , b ∈ A \foralla,b\inA ,,都有a≼b,或 b≼a,则称R为A上的全序关系。

极大极小元:设(P,≼)是半序集, A ⊆ P A\subseteq P AP,若a∈A,且在A中找不到 一个元素b(b≠a),使a≼b(b≼a),则称a为A中 的极大元(极小元)。

最大最小元:设(P, ≼)是半序集, A ⊆ P A\subseteq P AP,若a∈A, ∀ b ∈ A \forall b\in A bA,b≼a (a≼b),则称a为A的最大元(最小元)。

小结:(A, ≼)是偏序集,B是A的非空子集,则

⑴ B的极小元总是存在的,就是子集Hasse图中处在最下层的元素;B的极大 元也总是存在的,就是子集Hasse图中处于最上层的元素。

⑵ B的最小元(最大元)有时可能不存在,只要有唯一的极小(大)元,则这个极 小(大)元就是最小(大)元。否则,就没有最小(大)元。

上界与下界:设(P, ≼)是半序集, A ⊆ P A\subseteqP ,若a∈P,对 ∀ b ∈ A \forallb\inA ,都有b≼ a,则称a是A的上界;若a∈P,对 ∀ b ∈ A \forallb\inA ,都有 a≼b,则称a为A的下界。

A的上下界要到P(全集)中寻找,不局限于A(子集)。

上确界与下确界:设(P,≼)是半序集, A ⊆ P A\subseteqP ,若a是A的一个上界,而 ∀ A \forallA 的上 界b,都有a≼b,则称a是A的上确界;若a是A的一个下界,而 A的下界b,都有b≼a,则称b是A的下确界。

上确界:所有上界中的最小者,最小上界

下确界:所有上界中的最大者,最大下界

另外,如果存在上(下)确界,则上(下)确界一定是唯一的;

函数

函数关系图的特点:

每个结点均有且仅有一条往外发的弧线(包括环)。

函数关系矩阵的特点:

每行均有且仅有一个1。

从 X 到 Y 函数的集合 Y X Y^X YX Y X = { f ∣ f : X → Y } Y^X = \{f| f:X→Y\} YX={ff:XY}

|X|=m,|Y|=n,可构成 nm 个不同的函数。

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特殊函数:常值函数、恒等函数

函数的映射类型

满射的:

f:X→Y 是函数,如果对任意 y∈Y, 都存在 x∈X,使得 f(x)=y,则称 f 是满射的。 即 满射函数的值域 R f = Y R_f = Y Rf=Y

满射函数的关系矩阵: 每行有且仅有一个1, 并且 每列至少有一个1。

映内的

f:X→Y 是函数,如果 R f ⊂ Y R_f \subset Y RfY则称 f 是映内的。

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入射的(单射的)

f:X→Y 是函数,对于任何 x1 ,x2∈X, 如果 x1≠x2, 均有$ f(x_1 )≠ f(x_2)$,则称 f 是入射的(单射的,一对一的)。

双射的

f:X→Y 是函数,如果 f 既是满射的 又是入射的,则称 f 是双射的。

函数的复合运算

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复合运算满足可结合性

定理3 设 f:X→Y, g:Y→Z 是两个函数,则

⑴如果f 和 g是 满射的,则 g∘f 也是满射的;

⑵如果f 和 g是入射的,则 g∘f 也是入射的;

⑶如果f 和 g是双射的,则 g∘f 也是双射的。

定理4 设 f:X→Y, g:Y→Z 是两个函数,则

⑴如果 g∘f 是满射的,则 g 是 满射的;

⑵如果 g∘f 是入射的,则 f 是入射的;

⑶如果 g∘f 是双射的,则 f 是入射的且g是满射的。

tip:前满后入

定理5 f:X→Y 是函数,则$ f∘I_X = f 且 I_Y∘f = f $。

函数的逆运算

逆函数定义:

设 f:X→Y 是双射函数,$f^C:Y→X 也 是 函 数 , 称 之 为 f 的 逆 函 数 , 记 为 也是函数, 称之为 f 的逆函数,记为 ,ff^{-1}$ 。 f -1 存在,也称 f 可逆。显然,f -1 也是双射函数。

如果一个函数不是双射的,它的逆就不是函数。

自然数的定义

自然数n是n个元素的集合

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集合的基数

集合的等势

定义:令A是B集合,如果存在双射 f:A→B,则称A 与B等势。记作A~B。

~ 是等价关系

基数类:S是集合族,“~”是S上的等势关系,相对 于“~ ”的等价类称之为基数类。

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基数:给定集合A,A所属于的基数类,称之为A的基 数,记作K[A]。

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可数集合及其基数

自然数集合N的基数

因为 N 不可能与某个自然数 n 等势。所以 N 的基数不能是有限数,就用一个“无限大”的数 ℵ 0 \aleph_0 0 (读:阿列夫零)表示,即K[N]= ℵ 0 \aleph_0 0

可数集: 与自然数集合N等势的集合,称之为可数集。

不可数集合及其基数

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连续统基数

(0,1)区间的基数是一个比 N 的基数 ℵ 0 \aleph_0 0 更大的无限 大的数,用 ℵ \aleph (阿列夫) 表示。即 ℵ \aleph > ℵ 0 \aleph_0 0

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⑴ K[A1 ] = K[A2 ] = … = K[An ] = ℵ \aleph ,则 K[A1∪A2∪…∪An ] = ℵ \aleph

⑵ K[A] = K[B] = ℵ \aleph , 则 K[A×B ] = ℵ \aleph

⑶ K[A]= ℵ \aleph ,K[B]= ℵ 0 \aleph_0 0 (或 K[B]=n ),即B是至 多可数集,则 K[A-B ]= ℵ \aleph

基数的比较

代数系统

二元运算性质

封闭性

交换性

可结合性

规定:

若※是可结合的运算,元素 x 的※运算, 通常可以写成乘幂的形式。如下:

x ※ x = x 2 x※x=x^2 xx=x2

x 2 ※ x = x ※ x 2 = x 3 x^2※x=x※x2=x^3 x2x=xx2=x3

e.g.

对于加法: 1 3 = 3 1^3=3 13=3

对于乘法: 1 3 = 1 1^3=1 13=1

分配律

左分配律、右分配律

谁对谁满足(有顺序要求)

吸收律

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二元运算中的特殊元素

幂等元、幂等性

幺元、左幺元、右幺元

幺元 e e e e.g.

加法:0;乘法:1;并运算:$\phi $;交运算:E

怎么找?:左幺元(右幺元): e L e_L eL e R e_R eR)所在行(列)各元素均与上(左)表头元素相同

if e L = e R e_L=e_R eL=eR,那么就是幺元e,且唯一

零元、左零元、右零元

零元$\theta $ e.g.

乘法:0;并运算:;交运算: ϕ \phi ϕ

怎么找?:左零元(右零元): θ L \theta_L θL θ R \theta_R θR)所在行(列)各元素均与左(上)表头元素相同

if θ L = θ R \theta_L=\theta_R θL=θR,那么就是幺元 θ \theta θ,且唯一

定理:设※是集合X 上的二元运算,且 |X|>1。 如果该代数系统中存在幺元 e 和零元 θ, 则 θ ≠ e。

逆元、左逆元、右逆元(有幺元才能谈论逆元!!!

逆元 x L − 1 x_L^{-1} xL1e.g.

实数集合R上的+和×,x∈R

对加法+: x − 1 = − x x^{-1} = -x x1=x

​ 因为e=0,x+ (-x) = 0

对乘法×: x − 1 = 1 / x x^{-1} = 1/x x1=1/x (x≠0)

​ 因为e=1 ,x × 1/x = 1

怎么找?:从运算表找 x 的左(右)逆元 x L − 1 x_L^{-1} xL1 x R − 1 x_R^{-1} xR1): 在 x 列向下(右)找到 e 后,再向左(上)到左(上)表头元素即是 x L − 1 x_L^{-1} xL1 x R − 1 x_R^{-1} xR1

定理:设※是 X 上有幺元 e 且可结合的二元运算, 如果 x∈X,x 的左、右逆元都存在,则 x 的 左、右逆元必相等,且 x 的逆元是唯一的。

可消去元、可消去性

定理:设※是 X 上可结合的二元运算,如 果 a∈X,且 a − 1 a^{-1} a1∈X ,则 a 是可消元。

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e.g.

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代数系统的基本概念

同类型的代数系统

同态与同构

同态:是一个映射

如果 f 是满射的,称此同态是满同态。

如果 f 是入射的,称此同态是单一同态。

如果 f 是双射的,称此同态是同构,记作 X≌Y。

若 f 是的同态(同构) ,则称之为自同态(自同构)。

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注意: 代数系统 和同构的必要条件:

  1. X 和Y 的基数相同,即 K[X]=K[Y]。

  2. 运算※和⭕是同类型的。

  3. 存在双射 f:X → \rightarrow Y,且满足同构关系式。

    !!并不是所有的双射 f:X → \rightarrow Y 都满足同构关系式。

如果 f 是入射的,称此同态是单一同态。

如果 f 是双射的,称此同态是同构,记作 X≌Y。

若 f 是的同态(同构) ,则称之为自同态(自同构)。

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注意: 代数系统 和同构的必要条件:

  1. X 和Y 的基数相同,即 K[X]=K[Y]。

  2. 运算※和⭕是同类型的。

  3. 存在双射 f:X → \rightarrow Y,且满足同构关系式。

    !!并不是所有的双射 f:X → \rightarrow Y 都满足同构关系式。

    在构造双射时,要注意: 幺元与幺元对应;零元与零元对应; 逆元也要相互对应。

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