离散数学知识点

商集

定义： R 是 A 上等价关系，由 R 的所有等价类构成的集合称之为 A 关于 R 的商集。记作 A/R。
$$A/R=\{[a{]}_R|a\in A\}$$
例如， A={1,2,3,4,5,6,7} , R是A上的模3同余关系，则$ A/R= {[1]_R ,[2]_R ,[3]_R } ={{1,4,7},{2,5},{3,6}}$

由划分确定等价关系：

若$A=\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$是X的一个划分，则可以构造一个X上的等价关系R，使得X/R=A。

构造方法：$R=A_1^2\cup A_2^2\cup ,\dots ,\cup A_n^2$ 其中$A_i^2=A_i\times A_i$

也就是每个独立子图都构成等价关系（自反、对称、传递）

相容关系

定义：给定集合 X 上的关系 r , 若 r 是自反的、对称的，则 r 是A 上相容关系。

即，刨去传递性

相容关系关系矩阵的特点：

主对角线都是1（自反性决定的）；

沿主对角线对称的元素，要么全是0，要么全是1（对称性决定的）；

相容类：设 r 是集合X上的相容关系，$C\subseteq X$，如果对于 C 中任意元素x,y有$\in r $，称 C 是 r 的一个相容类。

最大相容类：设 r 是集合X上的相容关系，C是 r 的一个相容类，如果C不 能被其它相容类所真包含，则称C是一个最大相容类。

完全覆盖：r是中的相容关系，由r的所有最大相容类为元素 构成的集合，称之为X的完全覆盖。记作Cr(X)。

次序关系

偏序关系(partial order relation)

定义：R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R是A上的偏序关系，并称是偏序集。

用符号“≼”表示任意偏序关系，但要注意，这里的“≼”不一定 是“小于或等于”的含义。

偏序关系有向图的特点：

每个节点都有环(自反性)；

不同节点之间可以没有边，但如果有边，至多只有一条边；(反对称性)

由于有(a,b) ∈R 和(b,c)∈R， 则(a,c) ∈R；(传递性)

偏序关系的简化关系图：

(1)自反性：每个顶点都有环，省去。

(2)反对称性：两个不同顶点间只可能有一条边，那么按照左→右，或下→上 的方向依偏序关系安置顶点，可省略箭头。

(3)传递性：由于有(a,b)∈R ，(b,c)∈R 则(a,c) ∈R，故只画(a,b)，(b,c)对应 的边,省略边(a,c)。

Hasse图：设≼是Ａ上的一个偏序关系，如果a≼b ，则将ａ画在ｂ的下面 ，且不ｃ，使a≼c，c≼b，则ａ，ｂ间用直线连接。并符合简 化的关系图的绘制，称这样得到关系图为Hasse图。

全序(线序、链)关系：集合Ａ上半序关系Ｒ，如果$\forall ａ,ｂ\in Ａ$，都有ａ≼ｂ，或 ｂ≼ａ，则称Ｒ为Ａ上的全序关系。

极大极小元：设（Ｐ，≼）是半序集，$A\subseteq P$，若ａ∈Ａ，且在Ａ中找不到 一个元素ｂ（ｂ≠ａ），使ａ≼ｂ（ｂ≼ａ），则称ａ为Ａ中 的极大元（极小元）。

最大最小元：设(Ｐ， ≼）是半序集，$A\subseteq P$，若ａ∈Ａ，$\forall b\in A$，ｂ≼ａ (ａ≼ｂ），则称ａ为Ａ的最大元（最小元）。

小结：(A, ≼)是偏序集，B是A的非空子集，则

⑴ B的极小元总是存在的，就是子集Hasse图中处在最下层的元素；B的极大 元也总是存在的，就是子集Hasse图中处于最上层的元素。

⑵ B的最小元(最大元)有时可能不存在，只要有唯一的极小(大)元，则这个极 小(大)元就是最小(大)元。否则，就没有最小(大)元。

上界与下界：设（P, ≼）是半序集，$Ａ\subseteq Ｐ$，若a∈P，对$\forall ｂ\in Ａ$，都有ｂ≼ ａ，则称a是A的上界；若a∈P，对$\forall ｂ\in Ａ$，都有 ａ≼ｂ，则称ａ为Ａ的下界。

A的上下界要到P(全集)中寻找，不局限于A(子集)。

上确界与下确界：设(P,≼)是半序集，$Ａ\subseteq Ｐ$，若ａ是Ａ的一个上界，而$\forall Ａ$的上 界ｂ，都有ａ≼ｂ，则称ａ是Ａ的上确界；若ａ是Ａ的一个下界，而 Ａ的下界ｂ，都有ｂ≼ａ，则称b是Ａ的下确界。

上确界：所有上界中的最小者，最小上界；

下确界：所有上界中的最大者，最大下界；

另外，如果存在上（下）确界，则上（下）确界一定是唯一的；

函数

函数关系图的特点：

每个结点均有且仅有一条往外发的弧线(包括环)。

函数关系矩阵的特点：

每行均有且仅有一个1。

从 X 到 Y 函数的集合$Y^X$： $Y^X=\{f|f:X\to Y\}$

|X|=m，|Y|=n，可构成 nm 个不同的函数。

特殊函数：常值函数、恒等函数

函数的映射类型

满射的：

f:X→Y 是函数，如果对任意 y∈Y， 都存在 x∈X，使得 f(x)=y，则称 f 是满射的。 即 满射函数的值域 $R_f=Y$。

满射函数的关系矩阵： 每行有且仅有一个1， 并且 每列至少有一个1。

映内的

f:X→Y 是函数，如果 $R_f\subset Y$则称 f 是映内的。

入射的（单射的）

f:X→Y 是函数，对于任何 x1 ,x2∈X， 如果 x1≠x2， 均有$ f(x_1 )≠ f(x_2)$，则称 f 是入射的(单射的，一对一的)。

双射的

f:X→Y 是函数，如果 f 既是满射的 又是入射的，则称 f 是双射的。

函数的复合运算

复合运算满足可结合性

定理3 设 f:X→Y, g:Y→Z 是两个函数，则

⑴如果f 和 g是 满射的，则 g∘f 也是满射的；

⑵如果f 和 g是入射的，则 g∘f 也是入射的；

⑶如果f 和 g是双射的，则 g∘f 也是双射的。

定理4 设 f:X→Y, g:Y→Z 是两个函数，则

⑴如果 g∘f 是满射的，则 g 是 满射的；

⑵如果 g∘f 是入射的，则 f 是入射的；

⑶如果 g∘f 是双射的，则 f 是入射的且g是满射的。

tip:前满后入

定理5 f:X→Y 是函数，则$ f∘I_X = f 且 I_Y∘f = f $。

函数的逆运算

逆函数定义：

设 f:X→Y 是双射函数，$f^C:Y→X $也是函数,称之为f的逆函数，记为$f^{-1}$ 。 f -1 存在，也称 f 可逆。显然，f -1 也是双射函数。

如果一个函数不是双射的，它的逆就不是函数。

自然数的定义

自然数n是n个元素的集合

集合的基数

集合的等势

定义：令A是B集合，如果存在双射 f:A→B，则称A 与B等势。记作A~B。

~ 是等价关系

基数类：S是集合族，“~”是S上的等势关系，相对 于“~ ”的等价类称之为基数类。

基数：给定集合A，A所属于的基数类，称之为A的基 数，记作K[A]。

可数集合及其基数

自然数集合N的基数

因为 N 不可能与某个自然数 n 等势。所以 N 的基数不能是有限数，就用一个“无限大”的数${\aleph }_0$ (读:阿列夫零)表示，即K[N]= ${\aleph }_0$

可数集: 与自然数集合N等势的集合，称之为可数集。

不可数集合及其基数

连续统基数

(0,1)区间的基数是一个比 N 的基数 ${\aleph }_0$ 更大的无限 大的数，用 $\aleph$(阿列夫) 表示。即 $\aleph$>${\aleph }_0$

⑴ K[A1 ] = K[A2 ] = … = K[An ] = $\aleph$，则 K[A1∪A2∪…∪An ] =$\aleph$

⑵ K[A] = K[B] = $\aleph$， 则 K[A×B ] = $\aleph$

⑶ K[A]=$\aleph$，K[B]=${\aleph }_0$ (或 K[B]=n )，即B是至 多可数集，则 K[A-B ]=$\aleph$

基数的比较

代数系统

二元运算性质

封闭性

交换性

可结合性

规定：

若※是可结合的运算，元素 x 的※运算， 通常可以写成乘幂的形式。如下：

$x※x=x^2$

$x^2※x=x※x2=x^3$

e.g.

对于加法：$1^3=3$

对于乘法：$1^3=1$

分配律

左分配律、右分配律

谁对谁满足（有顺序要求）

吸收律

二元运算中的特殊元素

幂等元、幂等性

幺元、左幺元、右幺元

幺元$e$ e.g.

加法：0；乘法：1；并运算：$\phi $；交运算：E

怎么找？：左幺元（右幺元）：$e_L$（$e_R$）所在行（列）各元素均与上（左）表头元素相同

if $e_L=e_R$，那么就是幺元e，且唯一

零元、左零元、右零元

零元$\theta $ e.g.

乘法：0；并运算：；交运算：$\varphi$

怎么找？：左零元（右零元）：${\theta }_L$（${\theta }_R$）所在行（列）各元素均与左（上）表头元素相同

if ${\theta }_L={\theta }_R$，那么就是幺元$\theta$，且唯一

定理：设※是集合X 上的二元运算，且 |X|>1。 如果该代数系统中存在幺元 e 和零元 θ， 则 θ ≠ e。

逆元、左逆元、右逆元（有幺元才能谈论逆元！！！）

逆元$x_L^{-1}$e.g.

实数集合R上的+和×，x∈R

对加法+: $x^{-1}=-x$

​ 因为e=0，x+ (-x) = 0

对乘法×: $x^{-1}=1/x$ (x≠0)

​ 因为e=1 ，x × 1/x = 1

怎么找？：从运算表找 x 的左（右）逆元 $x_L^{-1}$（$x_R^{-1}$）： 在 x 列向下（右）找到 e 后，再向左（上）到左（上）表头元素即是$x_L^{-1}$（$x_R^{-1}$）

定理：设※是 X 上有幺元 e 且可结合的二元运算， 如果 x∈X，x 的左、右逆元都存在，则 x 的 左、右逆元必相等，且 x 的逆元是唯一的。

可消去元、可消去性

定理：设※是 X 上可结合的二元运算，如 果 a∈X，且 $a^{-1}$∈X ，则 a 是可消元。

e.g.

代数系统的基本概念

同类型的代数系统

同态与同构

同态：是一个映射

如果 f 是满射的，称此同态是满同态。

如果 f 是入射的，称此同态是单一同态。

如果 f 是双射的，称此同态是同构，记作 X≌Y。

若 f 是到的同态(同构) ，则称之为自同态(自同构)。

注意： 代数系统 和同构的必要条件：

1. X 和Y 的基数相同，即 K[X]=K[Y]。

2. 运算※和⭕是同类型的。

3. 存在双射 f:X$\to$Y，且满足同构关系式。

   ！！并不是所有的双射 f:X$\to$Y 都满足同构关系式。

。

如果 f 是入射的，称此同态是单一同态。

如果 f 是双射的，称此同态是同构，记作 X≌Y。

若 f 是到的同态(同构) ，则称之为自同态(自同构)。

[外链图片转存中…(img-rsmhcloI-1640617498923)]

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注意： 代数系统 和同构的必要条件：

1. X 和Y 的基数相同，即 K[X]=K[Y]。

2. 运算※和⭕是同类型的。

3. 存在双射 f:X$\to$Y，且满足同构关系式。

   ！！并不是所有的双射 f:X$\to$Y 都满足同构关系式。

   在构造双射时，要注意： 幺元与幺元对应；零元与零元对应； 逆元也要相互对应。