【离散数学】gpt教我学数学6

设A是n元集(n>=1),则从A到A的函数中有几个双射函数,有几个单射函数?

A A A n n n 元集,下面分别计算从 A A A A A A 的双射函数和单射函数的数量:

  1. 双射函数的数量:

一个双射函数 f : A → A f:A\rightarrow A f:AA 必须是一一对应的,即 f f f 必须是一个双射。因此,可以先考虑如何选取 A A A 中的元素,使得它们在 f f f 中的像是 A A A 中的 n n n 个元素的一个排列。方法如下:

  • 选取 A A A 中的一个元素 a 1 a_1 a1,将其映射到 A A A 中的任意一个元素上,共有 n n n 种选法;
  • 选取 A A A 中的另一个元素 a 2 a_2 a2,将其映射到 A A A 中剩下的 n − 1 n-1 n1 个元素中的一个上,共有 n − 1 n-1 n1 种选法;
  • 以此类推,选取 A A A 中的第 i i i 个元素 a i a_i ai,将其映射到 A A A 中剩下的 n − i + 1 n-i+1 ni+1 个元素中的一个上,共有 n − i + 1 n-i+1 ni+1 种选法。

因此,从 A A A A A A 的双射函数的数量为 n × ( n − 1 ) × ⋯ × 2 × 1 = n ! n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1=n! n×(n1)××2×1=n!

  1. 单射函数的数量:

一个单射函数 f : A → A f:A\rightarrow A f:AA 必须满足对于任意 x 1 , x 2 ∈ A x_1,x_2\in A x1,x2A,如果 x 1 ≠ x 2 x_1\neq x_2 x1=x2,则 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) f(x_1)\neq f(x_2) f(x1)=f(x2)。因此,可以按照如下方式计算单射函数的数量:

  • 选取 A A A 中的一个元素 a 1 a_1 a1,将其映射到 A A A 中的任意一个元素上,共有 n n n 种选法;
  • 选取 A A A 中的另一个元素 a 2 a_2 a2,将其映射到 A A A 中除了 a 1 a_1 a1 以外的 n − 1 n-1 n1 个元素中的一个上,共有 n − 1 n-1 n1 种选法;
  • 以此类推,选取 A A A 中的第 i i i 个元素 a i a_i ai,将其映射到 A A A 中除了 a 1 , … , a i − 1 a_1,\ldots,a_{i-1} a1,,ai1 以外的 n − i + 1 n-i+1 ni+1 个元素中的一个上,共有 n − i + 1 n-i+1 ni+1 种选法。

因此,从 A A A A A A 的单射函数的数量为 n × ( n − 1 ) × ⋯ × ( n − i + 1 ) × ⋯ × 2 × 1 = n ! / ( n − i ) ! n\times(n-1)\times\cdots\times(n-i+1)\times\cdots\times 2\times 1=n!/(n-i)! n×(n1)××(ni+1)××2×1=n!/(ni)!,其中 i i i 表示选取的元素个数。

需要注意的是,当 i > n i>n i>n 时,单射函数的数量为 0 0 0,因为无法选取 n + 1 n+1 n+1 个不同的元素映射到 n n n 个元素上。因此,从 A A A A A A 的单射函数的数量为:

∑ i = 0 n n ! ( n − i ) ! = n ! ∑ i = 0 n 1 ( n − i ) ! \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!} = n!\sum_{i=0}^n \frac{1}{(n-i)!} i=0n(ni)!n!=n!i=0n(ni)!1

这里将求和式拆开,分别考虑 i = 0 , 1 , … , n i=0,1,\ldots,n i=0,1,,n 的情况,其中 i = 0 i=0 i=0 时, n ! ( n − i ) ! = n ! \frac{n!}{(n-i)!}=n! (ni)!n!=n!。因此:

∑ i = 0 n n ! ( n − i ) ! = 1 + n ! + n ! 2 ! + ⋯ + n ! n ! = ∑ i = 0 n n ! i ! \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!} = 1+n!+\frac{n!}{2!}+\cdots+\frac{n!}{n!} = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!} i=0n(ni)!n!=1+n!+2!n!++n!n!=i=0ni!n!

这是因为 n ! n! n! 乘以 ∑ i = 0 n 1 i ! \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!} i=0ni!1 就是 n n n 的阶乘级数的前 n + 1 n+1 n+1 项之和,而 n n n 的阶乘级数的前 n + 1 n+1 n+1 项之和就是 e n e^n en,因此:

∑ i = 0 n n ! ( n − i ) ! = n ! ∑ i = 0 n 1 ( n − i ) ! = n ! e n \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!} = n!\sum_{i=0}^n \frac{1}{(n-i)!} = n!e^n i=0n(ni)!n!=n!i=0n(ni)!1=n!en

因此,从 A A A A A A 的单射函数的数量为 n ! e n n!e^n n!en

为啥单射函数的数量不是n!

您的疑问是正确的,我之前的回答中有误。从 A A A A A A 的单射函数的数量应该是 n ! n! n!

一个单射函数 f f f A A A A A A 的定义是:对于任意 x 1 , x 2 ∈ A x_1, x_2 \in A x1,x2A,如果 x 1 ≠ x 2 x_1 \neq x_2 x1=x2,则 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) f(x_1) \neq f(x_2) f(x1)=f(x2)。我们可以按照如下方式计算单射函数的数量:

  • 选取 A A A 中的一个元素 a 1 a_1 a1,将其映射到 A A A 中的任意一个元素上,共有 n n n 种选法;
  • 选取 A A A 中的另一个元素 a 2 a_2 a2,将其映射到 A A A 中除了 a 1 a_1 a1 以外的 n − 1 n-1 n1 个元素中的一个上,共有 n − 1 n-1 n1 种选法;
  • 以此类推,选取 A A A 中的第 i i i 个元素 a i a_i ai,将其映射到 A A A 中除了 a 1 , … , a i − 1 a_1,\ldots,a_{i-1} a1,,ai1 以外的 n − i + 1 n-i+1 ni+1 个元素中的一个上,共有 n − i + 1 n-i+1 ni+1 种选法。

因此,从 A A A A A A 的单射函数的数量为 n × ( n − 1 ) × ⋯ × 2 × 1 = n ! n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1=n! n×(n1)××2×1=n!

非常抱歉之前回答中的错误。

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