【离散数学】不同的等价关系确定不同的自然映射, 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他自然映射一般来说只是满射

不同的等价关系确定不同的自然映射, 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他自然映射一般来说只是满射

对于集合 A A A 和等价关系 R R R,不同的等价关系确定不同的商集 A / R A/R A/R,因此不同的等价关系也确定不同的自然映射 g : A → A / R g:A\rightarrow A/R g:AA/R。具体来说,如果 R 1 R_1 R1 R 2 R_2 R2 A A A 上的两个不同的等价关系,且 R 1 ≠ R 2 R_1\neq R_2 R1=R2,那么它们所对应的商集 A / R 1 A/R_1 A/R1 A / R 2 A/R_2 A/R2 是不同的集合,因此它们的自然映射 g 1 g_1 g1 g 2 g_2 g2 也是不同的映射。

特别地,当等价关系 R R R 是恒等关系时,商集 A / R A/R A/R 就是 A A A 本身,自然映射 g : A → A / R g:A\rightarrow A/R g:AA/R 就是恒等映射 g ( x ) = x g(x)=x g(x)=x。此时,自然映射 g g g 是一个双射,因为它既是一个满射,又是一个单射。具体来说,对于任意 [ a ] ∈ A / R [a]\in A/R [a]A/R g ( a ) = [ a ] g(a)=[a] g(a)=[a],因此 g g g 是一个满射。另外,如果 g ( a 1 ) = g ( a 2 ) g(a_1)=g(a_2) g(a1)=g(a2),那么 [ a 1 ] = [ a 2 ] [a_1]=[a_2] [a1]=[a2],即 a 1 a_1 a1 a 2 a_2 a2 R R R 下等价,因此 a 1 = a 2 a_1=a_2 a1=a2,即 g g g 是一个单射。因此,恒等关系确定的自然映射是一个双射。

对于其他等价关系,一般来说自然映射 g g g 只是一个满射,而不是一个双射。这是因为在一般情况下,不同的元素可能会映射到同一个等价类上,即自然映射 g g g 不是单射。例如,在前面的例子中,等价关系 R R R 对应的商集是 { [ 1 ] , [ 2 ] , [ 4 ] } \{[1],[2],[4]\} {[1],[2],[4]},其中 [ 1 ] = [ 2 ] = [ 3 ] = { 1 , 2 , 3 } [1]=[2]=[3]=\{1,2,3\} [1]=[2]=[3]={1,2,3},因此自然映射 g g g 1 1 1 2 2 2 都映射到了同一个等价类 [ 1 ] [1] [1] 上。因此,自然映射 g g g 不是一个双射。

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