【离散数学】不同的等价关系确定不同的自然映射, 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他自然映射一般来说只是满射

不同的等价关系确定不同的自然映射, 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他自然映射一般来说只是满射

对于集合 $A$ 和等价关系 $R$，不同的等价关系确定不同的商集 $A/R$，因此不同的等价关系也确定不同的自然映射 $g:A\to A/R$。具体来说，如果 $R_1$ 和 $R_2$ 是 $A$ 上的两个不同的等价关系，且 $R_1\ne R_2$，那么它们所对应的商集 $A/R_1$ 和 $A/R_2$ 是不同的集合，因此它们的自然映射 $g_1$ 和 $g_2$ 也是不同的映射。

特别地，当等价关系 $R$ 是恒等关系时，商集 $A/R$ 就是 $A$ 本身，自然映射 $g:A\to A/R$ 就是恒等映射 $g(x)=x$。此时，自然映射 $g$ 是一个双射，因为它既是一个满射，又是一个单射。具体来说，对于任意 $[a]\in A/R$，$g(a)=[a]$，因此 $g$ 是一个满射。另外，如果 $g(a_1)=g(a_2)$，那么 $[a_1]=[a_2]$，即 $a_1$ 和 $a_2$ 在 $R$ 下等价，因此 $a_1=a_2$，即 $g$ 是一个单射。因此，恒等关系确定的自然映射是一个双射。

对于其他等价关系，一般来说自然映射 $g$ 只是一个满射，而不是一个双射。这是因为在一般情况下，不同的元素可能会映射到同一个等价类上，即自然映射 $g$ 不是单射。例如，在前面的例子中，等价关系 $R$ 对应的商集是 $\{[1],[2],[4]\}$，其中 $[1]=[2]=[3]=\{1,2,3\}$，因此自然映射 $g$ 把 $1$ 和 $2$ 都映射到了同一个等价类 $[1]$ 上。因此，自然映射 $g$ 不是一个双射。