算法分析与设计——投资问题（动态规划）

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一、问题

设有m万元，n项投资，函数f（x）表示将x万元投入第i项项目所产生的效益，i=1，2，3……，n，问：如何分配这m元钱，使得投资总效益最高？

即：目标函数max{f1(x1)+ f2(x2)+…+ fn(xn)},约束条件x1+x2+…+xn=m，x∈N

实例：

二、解析

设dp[i][t]为前i个项目总共花费t元能得到的最大收益，那么假设分配给第i个项目k元取得了最大收益，则实际上前i-1个项目共得到了j=t-k元，

所以dp[i][t]的最优状态可以由dp[i-1][t-k]+fi(k)中的最优子决策得到，所以对于每个i，t的情况，只要枚举所有dp[i-1][t-k]+fi(k)的状态中最优的即可，得到状态转移方程如下：

dp[i][j + k] = max(dp[i - 1][j] + f[i][k], dp[i][j + k]); 其中j+k=t；

三、设计

四、分析

时间复杂度 ： O（n * m * m）
空间复杂度 ： O （n * m）

五、代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
 
using namespace std;

int n, m; // n代表项目的数量 , m代表投资的金额
int f[1000][1000]; // 用户存储给第i个项目投资x万元，能够获得f[i][x]万元的收益
int dp[1000][1000] = {0}; // dp[i][j]表示到第i个项目的时候已经花费了j万元的最大收益

int main()
{    
    scanf("%d %d", &n, &m); 
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j <= m; ++j)
            scanf("%d", &f[i][j]); // 对第i个项目投资j万元的收益为f[i][j]
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j <= m; ++j)
            for (int k = 0; j + k <= m; ++k)
                dp[i][j + k] = max(dp[i - 1][j] + f[i][k], dp[i][j + k]);
    cout << dp[n][m] << endl;
    system("pause");
    return 0;
} 
 
/*
测试案例
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*/