高中奥数 2021-12-01

2021-11-30-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P034 习题1）

在四边形中,,,四边形的形状为( ).

(A)长方形

(B)平行四边形

(C)菱形

(D)梯形

分析与解

D.

由,,,得.

所以且,故四边形为梯形.

2021-11-30-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P034 习题2）

若,,且,则四边形是( ).

(A)平行四边形

(B)梯形

(C)等腰梯形

(D)菱形

分析与解

C

,.

2021-11-30-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P034 习题3）

平行四边形中,对角线和交于点.若,,那么用和表示为( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

分析与解

B

.

2021-11-30-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P034 习题4）

若,,,则.

分析与解

.

2021-11-30-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P034 习题5）

已知梯形中,且.若,,则.

分析与解

.

2021-11-30-06

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P034 习题6）

如图,任意四边形中,、分别为、的中点,为的中点,为平面内的任意一点,求证:

图1

(1);

(2).

证明

(1)设,,,则,,.

从而,,,.

所以.

(2),,,.

从而,即,证毕.

2021-11-30-07

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数与方程 P034 习题7）

设为的内接四边形,、、、依次为、、、的垂心,求证:、、、在同个圆上,并定出该圆的圆心.

设的半径为,设,则由例3知

从而.

同理,,.

所以、、、在同一圆上,以为圆心,以为半径,证毕.