[ARC105F] Lights Out on Connected Graph

黑题好题。

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广义做法：计数题 + 简易容斥 + 子集和问题

学习点：

将连通图计数转换为任意图计数 $-$ 非连通图个数。

利用钦点防止重复计算。

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[ARC105F] Lights Out on Connected Graph

有一张 $n$ 个点 $m$ 条边的简单无向图，问选出一个边集，使得 $n$ 个点与这些边构成的图为连通二分图的方案数。

对 $998244353$ 取模。

$1\le n\le 17,n-1\le m\le \frac{n(n-1)}{2}$

二分图补充

注意二分图分为连通二分图和非连通二分图。

二分图有个好用的性质：可以进行黑白染色。通俗的讲，对于一个二分图，一定存在一种染色方案，使得没有任何两个有边相连的点的颜色相同。

另外，我们设有点集 $S,T$，若满足 $S$ 中任意两点都无边相连、$T$ 中任意两点都无边相连，则由 $S$ 点集，$T$点集 及 $S$ 中的点连向 $T$ 中的点的边构成的图一定是二分图。当然，该二分图不一定连通。

解析

枚举边集的时间复杂度显然过高，考虑枚举点集，计算每个点集对答案的贡献。

首先，控制点集组成的图连通太困难了，先计算任意图的情况。我们设 $g(S)$ 表示点集 $S$ 所有染色方案对应的可行图个数（注意不一定连通）。可以通过枚举 $S$ 的子集求解，则 $g(S)=\sum _{T\subseteq S}{2}^{cn{t}_S-cn{t}_T-cn{t}_{S-T}}$，其中 $S-T$ 表示 $T$ 关于 $S$ 的补集，$cn{t}_U$ 表示点集 $U$ 内部连接的边数。 基本原理源于上方斜体字。

上面及接下来也需要的枚举子集过程可以不用 SOS DP，时限 3s ，$O(3^n)$ 的方法可以过。

然后需要求解连通二分图的个数。我们设 $f(S)$ 表示点集 $S$ 所有染色方案对应的可行连通图个数，思路是将连通图计数由任意图计数 $-$ 非连通图个数得到。任意图计数即为 $g(S)$，这时候可以发现非连通图的情况有很多，但共同点在于其均可以看作由两个及以上个小的连通块形成。所以我们可以先将连通图（称为 $P$）拆成两块，即钦定一个点（以下称钦点），保证其中一块（设为 $P^{\prime }$）中包含钦点，这时另一个连通块（设为 $P^{\prime \prime }$）是任意图都可以确保 $P$ 不连通。

而钦点的作用在于其可以防止计算重复，在枚举 $P^{\prime }$ 的过程中确保了图的的非重。

可列得

$$f(S)=\sum _{T\subseteq S}f(T)\cdot g(S-T)$$

注意点集 $T$ 为钦点所在的点集，钦点可设为点集 $S$ 中的任一点，我用的是 $S$ 中最小的点。

代码 然而只是给我看的