复变函数---函数基本概念

平面点集

区域

邻域，去心邻域

内点

开集

边界点

边界

连通集

开区域

闭区域

有界集无界集

曲线

1. 简单曲线，简单闭曲线

没有交叉点的曲线，收尾连接的曲线。

2. 光滑曲线，分段光滑曲线

导数不全为0，多个光滑曲线的拼接。

3. 单连通区域，多连通区域

区域内的点都被包含，区域内有一片区域，或者线，点没有被包含。

复变函数

定义

复变函数就是一个复数进行变换变为另一个复数
研究复变函数其实就是研究两个二元函数

n次多项式函数，有理函数

映照

从几何学上说，复变函数指的两个复平面点集的映照。

反函数和复合函数

跟实数域中的定义基本相同
反函数： 自变量和因变量互换
复合函数：多个初等函数的结合

初等函数

1. 指数函数
   
   

2. 对数函数

对数函数是指数函数的反函数，他是一个多值函数，记作$Lnz=ln|z|+i(argz+2k\pi )$
还有一个对应的主值函数$lnz=ln|z|+i(argz)$(就是去掉$2k\pi i$)

性质：

• 在实数中的对数运算都可以使用
• $e^{lnz}=z$
• $Ln{e}^z=z+2k\pi i$