DB_鸠
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复变函数---函数基本概念

平面点集

区域

邻域，去心邻域
复变函数---函数基本概念_第1张图片

内点
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开集
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边界点
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边界
在这里插入图片描述

连通集
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开区域
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闭区域
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有界集无界集
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曲线

  1. 简单曲线，简单闭曲线

没有交叉点的曲线，收尾连接的曲线。

  1. 光滑曲线，分段光滑曲线

导数不全为0，多个光滑曲线的拼接。

  1. 单连通区域，多连通区域

区域内的点都被包含，区域内有一片区域，或者线，点没有被包含。

复变函数

定义

复变函数就是一个复数进行变换变为另一个复数
研究复变函数其实就是研究两个二元函数
复变函数---函数基本概念_第8张图片

n次多项式函数，有理函数

映照

从几何学上说，复变函数指的两个复平面点集的映照。
复变函数---函数基本概念_第9张图片
复变函数---函数基本概念_第10张图片

复变函数---函数基本概念_第11张图片

反函数和复合函数

跟实数域中的定义基本相同
反函数： 自变量和因变量互换
复合函数：多个初等函数的结合

初等函数

  1. 指数函数
    在这里插入图片描述
    复变函数---函数基本概念_第12张图片

  2. 对数函数

对数函数是指数函数的反函数，他是一个多值函数，记作 L n z = l n ∣ z ∣ + i ( a r g z + 2 k π ) Lnz = ln|z| + i(argz + 2k\pi) Lnz=ln∣z∣+i(argz+2kπ)
还有一个对应的主值函数 l n z = l n ∣ z ∣ + i ( a r g z ) lnz = ln|z| + i(argz) lnz=ln∣z∣+i(argz)(就是去掉 2 k π i 2k\pi i 2kπi)

性质：

  • 在实数中的对数运算都可以使用
  • e l n z = z e^{lnz} = z elnz=z
  • L n e z = z + 2 k π i Lne^z = z + 2k\pi i Lnez=z+2kπi

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