TJUACM假期集训个人赛（九）(cf1453a-d cf1440a-c)
今天最后一场个人赛 出题玩抽象的 密码是 l a s t d a n c e lastdance lastdance 然后题名连起来是个人赛的最后一舞
最抽象的我觉得还是一套题出三道大模拟，人写没了
寻思最后一场好好打拿个 r k 1 rk1 rk1，最后十分钟被超了，三周个人赛没拿个 r k 1 rk1 rk1算是个小遗憾吧
A. Cancel the Trains
题面
签到题 找到两侧同时开出的火车即可，输出相同的个数
#include B. Suffix Operations
题面
显然操作 2 2 2的贡献之和是每相邻两个数的差的绝对值，枚举遍历操作 1 1 1贡献最小的即可
#include C. Triangles
题面
大模拟一，把答案分为两种，一种是有底边构造高，一种是有高构造底边。
每次枚举一列或者一行的 0 − 9 0-9 0−9，如果只出现两次，那就更新两次答案：先以这两个为边，构造两侧最远的高。再以这两个中的一个构造底边，枚举两侧的高更新答案。
输入时维护最上面最下面最左边最右边的 0 − 9 0-9 0−9的行列数即可。
时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
#include D. Checkpoints
题面
改第三个大模拟时间太久了 这题没时间做了 就是一道简单的数学题
首先一个 1 1 1的期望是 2 2 2，这个看样例就能看出来，推一下就是
E = 1 × 1 2 + 2 × 1 4 + . . . + n × 1 2 n E=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{4}+...+n\times\frac{1}{2^n} E=1×21+2×41+...+n×2n1
2 E = 1 + 2 × 1 2 + 3 × 1 4 + . . . + n × 1 2 n − 1 2E=1+2\times\frac{1}{2}+3\times\frac{1}{4}+...+n\times\frac{1}{2^{n-1}} 2E=1+2×21+3×41+...+n×2n−11
下面减上面得 E = 1 + 1 2 + 1 4 + . . . + 1 2 n − 1 − 1 2 n , n → + ∞ E=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n},n\rightarrow+\infty E=1+21+41+...+2n−11−2n1,n→+∞时 E = 2 E=2 E=2
对于 1 1 1后面跟着 n n n个 0 0 0，假设现在已经走到了第 K K K个 0 0 0，设当前期望为 E k E_k Ek，则有
E k + 1 = ( E k + 1 ) × 1 2 + 2 ( E k + 1 ) × 1 4 + . . . + n ( E k + 1 ) × 1 2 n E_{k+1}=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(E_k+1)\times\frac{1}{2}+2(E_k+1)\times\frac{1}{4}+...+n(E_k+1)\times\frac{1}{2^n} Ek+1=(Ek+1)×21+2(Ek+1)×41+...+n(Ek+1)×2n1
2 E k + 1 = ( E k + 1 ) + 2 ( E k + 1 ) × 1 2 + 3 ( E k + 1 ) × 1 4 + . . . + n ( E k + 1 ) × 1 2 n − 1 2E_{k+1}=(E_k+1)+2(E_k+1)\times\frac{1}{2}+3(E_k+1)\times\frac{1}{4}+...+n(E_k+1)\times\frac{1}{2^{n-1}} 2Ek+1=(Ek+1)+2(Ek+1)×21+3(Ek+1)×41+...+n(Ek+1)×2n−11
下面减上面得 E k + 1 = ( E k + 1 ) × ( 1 + 1 2 + 1 4 + . . . + 1 2 n − 1 − 1 2 n ) , n → + ∞ E_{k+1}=(E_k+1)\times(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}),n\rightarrow+\infty Ek+1=(Ek+1)×(1+21+41+...+2n−11−2n1),n→+∞时 E k + 1 = 2 ( E k + 1 ) E_{k+1}=2(E_k+1) Ek+1=2(Ek+1)
推出通项公式有 E k = 2 k + 2 − 2 E_k=2^{k+2}-2 Ek=2k+2−2。
因此我们知道了一段 100...0 100...0 100...0的期望，由于期望之间是线性关系，因此我们只需从大到小枚举 E k E_k Ek即可。
#include A. Buy the String
题面
输入一个字符串，在每一位判断一下换更优还是不换更优即可
#include B. Sum of Medians
题面
设 p = ⌈ n 2 ⌉ p=\lceil\frac{n}{2}\rceil p=⌈2n⌉，为什么要设呢，因为方便我打字，那个公式要打好久
求每一段第 p p p大的数和最大，我们利用贪心的思想，先将数组从大到小排序，先将数组的前 p p p大的数分给第一段，然后将后 n − p + 1 n-p+1 n−p+1小的分给第一段，以此类推，最终答案就是第 p , 2 p , . . . , k p p,2p,...,kp p,2p,...,kp大的数之和。
#include C1. Binary Table (Easy Version)
题面
大模拟二：小模拟，没寻思后面是个一样的模拟，早知道直接做后面那个题了
操作是在一个 2 × 2 2\times2 2×2的小方格中取三个数将 0 0 0变 1 1 1， 1 1 1变 0 0 0，我们设这个操作中没变的那个方格为中心方格。
一个性质就是在 2 × 2 2\times2 2×2的小方格中，以其他三个为中心方格做操作，会只改变该方格中一个块的数。所以用这个性质，每见到一个 1 1 1就这样做三次操作即可。题目要求的操作数少于 3 n m 3nm 3nm，边界条件的 3 3 3就是这么来的。
模拟即可
#include C2. Binary Table (Hard Version)
题面
难版本的，我们考虑递推操作每碰到一个 1 1 1就把这个 1 1 1和下面两个数操作，这样如果不考虑下面的情况，最多 O ( n m ) O(nm) O(nm)就可以处理掉所有的 1 1 1，但是显然不能都这么做，因为最后两行要一起处理掉，所以我们先用上面的方法处理掉剩两行的情况，再单独处理最后两行。
最后两行我们从左往右按列递推，如果该列两个都为 1 1 1那就直接操作这两个和右边随便一个，如果有一个为 1 1 1就操作这个 1 1 1和右边两个，这样用 m m m次就可以操作 2 m 2m 2m个数，直到最后一个 2 × 2 2\times 2 2×2个小方格。 我们暴力解决这个小方格即可。因为要先输出操作数再输出操作，我也没想到我这一系列操作有什么方法可以先算出操作数，我就直接模拟两次了。
#include