线性代数基础--向量

目录

向量的概念

基本概念

抽象概念

向量的意义 

几何意义

物理意义

欧式空间

特点和性质

 行向量与列向量

行向量

列向量

两者的关系

向量的基本运算与范数

向量的基本运算

向量的加法

数乘运算(实数与向量相乘)

转置

向量的范数

向量的模与内积

向量的模

向量的内积(点乘) 

向量的应用——余弦相似度 


向量的概念

线性代数基础--向量_第1张图片

 

基本概念

向量是线性代数里面最基本的概念,表示的是一组有序的数,它可以表示大小和方向

X = (X~1~,X~2~,...X~n~)

和向量相对应,⼀个数字,称为标量

抽象概念

除了在几何中的直观表示,向量也可以被抽象地定义为具有一定代数性质的数学对象。向量可以用一组有序的实数或复数分量表示,具有加法和数乘等运算规则。

向量的意义 

几何意义

向量可以用来表示具有大小和方向的物理量,例如位移、速度、加速度、力等。在几何上,向量可以表示为从一个点到另一个点的有向线段,起点和终点分别代表向量的位置。

线性代数基础--向量_第2张图片

物理意义

  1. 位移向量:位移向量用于描述物体从一个位置到另一个位置的位移,包括大小和方向。它可以表示为从起始点到终点的有向线段,描述物体在空间中的移动。

  2. 速度向量:速度向量表示物体在某一时刻的速度,包括大小和方向。它是位移向量关于时间的导数,描述物体的位置变化率。

  3. 加速度向量:加速度向量表示物体在某一时刻的加速度,包括大小和方向。它是速度向量关于时间的导数,描述物体速度的变化率。

  4. 力向量:力向量表示作用在物体上的力,包括大小和方向。根据牛顿第二定律,物体的加速度与作用在物体上的力成正比,方向与力的方向一致。力向量可以用于计算物体的运动和相互作用。

  5. 磁场和电场向量:在电磁学中,磁场和电场都可以用向量来表示。磁场向量和电场向量描述了磁场和电场的强度和方向,在电磁相互作用和电磁波传播等现象中起着重要作用。

  6. 力矩向量:力矩向量表示施加在物体上的力矩,包括大小和方向。力矩描述了物体绕某一轴旋转的趋势,与施加力的位置和方向有关。

  7. 矢量场:矢量场是指在空间中每一点都有一个关联的向量。例如,速度场和电场就是矢量场的示例,它们在空间中的每一点都有一个速度向量或电场向量。

欧式空间

n 维向量集合的全体就构成了 n 维欧式空间,R^n^

例如,所有二维向量构成了二维欧氏空间;所有三维向量构成了三维欧氏空间。

特点和性质

  1. 维度:欧氏空间可以是任意维度的,包括一维、二维、三维,甚至更高维度。在二维空间中,我们通常使用平面几何来描述,而在三维空间中,我们使用立体几何来描述。

  2. 度量:欧氏空间具有欧几里得度量,即通过距离来度量空间中点之间的间隔。在二维和三维空间中,欧几里得距离可以使用勾股定理计算,即两点之间的直线距离。在n维欧氏空间中,欧几里得距离可以表示为点之间坐标差的平方和的平方根。

  3. 坐标系:欧氏空间可以使用坐标系来表示点的位置。在二维空间中,常用笛卡尔坐标系,其中通过两个垂直的坐标轴来确定点的位置。在三维空间中,使用三个相互垂直的坐标轴来表示点的位置。

  4. 向量:欧氏空间中的向量具有大小和方向,用于表示物理量和几何对象。向量的加法、减法和数乘操作可以在欧氏空间中定义,使得向量成为对空间中点之间关系的有效描述工具。

  5. 内积:欧氏空间中的向量可以进行内积运算。内积是两个向量之间的一种运算,可以用于度量向量之间的夹角和长度。在二维空间中,内积可以通过向量的坐标乘积求和来计算。

 行向量与列向量

线性代数基础--向量_第3张图片

行向量

行向量是指由一组有序的数按水平排列而成的向量,其形状为 1 × n。行向量中的元素按从左到右的顺序排列。例如,行向量 [a₁, a₂, ..., aₙ] 可以表示为:

[ a₁ a₂ ... aₙ ]

行向量可以通过将元素按顺序排列在方括号内表示。

列向量

列向量是指由一组有序的数按垂直排列而成的向量,其形状为 n × 1。列向量中的元素按从上到下的顺序排列。例如,列向量 [a₁, a₂, ..., aₙ] 可以表示为:

[ a₁ ] [ a₂ ] [ ... ] [ aₙ ]

列向量可以通过将元素按顺序排列在方括号内,并以换行符分隔表示。


两者的关系

行向量与列向量没有本质的区别 只是表现形式不同

行向量是按行把向量排开,列向量是按列把向量排开

 在数学中我们更多的把数据写成列向量

向量的基本运算与范数

向量的基本运算

  • 向量的加法

    就是它们的分量分别相加,显然两个向量的长度得是相等的

线性代数基础--向量_第4张图片

同理,向量的减法就是它们的分量分别相减

  • 数乘运算(实数与向量相乘)

    使用实数和这个向量的每个数据分别相乘

    线性代数基础--向量_第5张图片

  • 转置

    把列向量变成行向量,把行向量变成列向量

向量的范数

范数的公式是向量每个分量绝对值p次方求和,再用幂函数计算p分之一

向量的范数就是把向量变成一个标量,范数的表示就是两个竖线来表示,然后右下角写上p

  • 范数公式:

线性代数基础--向量_第6张图片

  • 1范数L1

    线性代数基础--向量_第7张图片

  • 2范数L2

    线性代数基础--向量_第8张图片

向量的模与内积

向量的模

向量的长度叫做向量的模,用两个竖线包起来的向量就代表向量的模,例如:||a||

对于一个n维向量,它的模为:

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向量的内积(点乘) 

两个向量的内积(点乘)等于对应位置相乘再相加

线性代数基础--向量_第10张图片

两个向量的内积的本质是变成一个标量

向量的应用——余弦相似度 

使用两向量夹角θ的余弦值cosθ来表示两个向量的相似度,称为余弦相似度。余弦相似

度的范围是:[-1,1],夹角越小,余弦值越接近于1,两个向量越靠近,两者越相似。两个向

量有相同的指向时,余弦相似度的值为1;两个向量夹角为90°时,余弦相似度的值为0;两

个向量指向完全相反的方向时,余弦相似度的值为-1。

线性代数基础--向量_第11张图片

余弦相似度公式为:

线性代数基础--向量_第12张图片 

其中,表示的是向量a和向量b的内积,||a||和||b||分别表示向量a和向量b的模(长度)。

例如,向量a=(X~1~,Y~1~),向量b=(X~2~,Y~2~),代入余弦相似度公式可以得到:

线性代数基础--向量_第13张图片

可以将其推广至n维向量空间:

若向量a=(X~1~,X~2~,X~3~,...,X~n~),向量b=(Y1,Y2,Y3,...,Yn),其夹角的余弦值(余弦相似度)可

以表示为:

线性代数基础--向量_第14张图片

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