欧拉回路（附模板）

 

欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次， 称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。   判断欧拉路是否存在的方法 有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。 无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。 判断欧拉回路是否存在的方法 有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。 无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

求欧拉回路的Fleury算法：

   设G为欧拉图，一般说来G中存在若干条欧拉回路，下面是求欧拉回路的Fleury算法：

Fleury算法：

（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0；（如果是求欧拉路，则：1.无向欧拉路选那两个奇数度的点；2.有向欧拉路选出度大入度1的点）

（2）设Pi=v0e1v1e2...eivi已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选

     取ei+1：

    （a）ei+1与vi相关联；

    （b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥.（每搜到一个边便删掉）

（3）当（2）不能再进行时，算法停止。

可以证明，当算法停止时所得简单回路Pm=v0e1v1e2...emvm（vm=v0）为G中的一条欧拉回路。

 

C++模版：

 

// 求欧拉回路或欧拉路，邻接阵形式，复杂度o（n^2）
//返回路径长度，path返回路径(有向图是得到的是反向路径)
//传入图的大小n和邻接阵mat，不相交邻点边权0
//可以有自环与重边，分为无向图和有向图
#define MAXN 100 


void find_path_u(int n,int mat[][MAXN],int now,int& step,int* path)
{
　　int i; 
　　for (i=n-1;i>=0;i--) 
　　　　while (mat[now][i])
　　　　{ 
   　　 mat[now][i]--,mat[i][now]--; 
   　　 find_path_u(n,mat,i,step,path); 
　　　　} 
　　path[step++]=now; 
}


void find_path_d(int n,int mat[][MAXN],int now,int& step,int* path)
{ 
　　int i; 
　　for (i=n-1;i>=0;i--) 
　　　　while (mat[now][i])
　　　　{ 
   　　 mat[now][i]--; 
   　　 find_path_d(n,mat,i,step,path); 
　　　　} 
　　path[step++]=now; 
}


int euclid_path(int n,int mat[][MAXN],int start,int* path)
{ 
　　int ret=0; 
　　find_path_u(n,mat,start,ret,path); 
　　// find_path_d(n,mat,start,ret,path); 
　　return ret; 
}

  练习题： 　　 1 HDU 3018 Ant Trip    一笔画问题，无向图欧拉路或者欧拉回路，注意题目说了，如果是孤立点，则不用考虑。    2 POJ 1041 John's trip   3 POJ 1386 Play on Words    　貌似很经典的模型了，应该叫 单词接龙吧。    　本题要求判断是否有 有向图欧拉路   4 POJ 2230 Watch Cow     　题目描述每条路必须走两次，且方向不同，其实一样了，有向图的欧拉回路 不过需要输出的是路径中的节点。   5 POJ 2513 Colored Sticks    　比较简单，判定是否存在 无向图欧拉路   6 POJ 2337 Catenyms       还是单词 首尾相连，要求判断，然后输出字典序最小的    　 7 POJ 1392 Ouroboros Snake http://blog.csdn.net/yueashuxia/archive/2010/07/12/5729878.aspx    　这里涉及到DeBruijin图    　本题要求 按顺序输出 组成的数字。 8 HDU 2894 DeBruijin 　　同上，这次要输出串