无伴奏的阿基里斯奏鸣曲
从这一章开始作者选择了奏鸣曲的格式作为引言，那么何为奏鸣曲？——奏鸣曲（Sonata），是由一件独奏乐器演奏或由一件独奏乐器和钢琴合奏的器乐套曲。其有两种常见形式，一种叫三重奏鸣曲，另一种叫独奏（或二重）奏鸣曲。所谓三重奏鸣曲即三个声部，两个小提琴声部，一个由大提琴和古钢琴演奏的通奏低音声部，直到钢琴的出现，原来处于主导地位的弦乐让位于键盘乐器，钢琴成为奏鸣曲的主角。那么无伴奏的奏鸣曲就只剩下主旋律乐器的独奏了，比如最有名的巴赫的三首无伴奏小提琴奏鸣曲，被誉为“小提琴演奏的圣经”，巴赫设计了小提琴表达所能演奏的一切和弦，使用了几乎不可能演奏的对位技巧。
扯远了，那么本文中作者只让阿基里斯一人对话，而乌龟的回答包含在了阿基里斯的回答中，不正是阿基里斯一个人的无伴奏对话，但完整到足以让人们听出对话内容吗。当然这也是为图形与衬底做铺垫，对话中“秋鹊”的字谜与艾舍尔的《镶嵌画》抛砖引玉，足见遣词造句之功底。
图形与衬底
素数&合数
关于素数也许数学家唐·察吉尔在1975年这样评论“像生长于自然数间的杂草，似乎不服从几率之外的法则，但是又表现出惊人的规律性，并由规范其行为之法则，并且以军事化的精准度遵守着这些法则”更能体现素数的神秘性。作者在这里更直观的用镶嵌画中图形与衬底的关系来描述素数、合数的关系。也就是说，一旦你清楚素数的性质，根据镶嵌的原则就可以推导出合数的性质，反之亦反。
t-q系统
p-q系统是plus-equal，那么t-q系统就是times-equal。作者为了构造出表达合数的简单方式，运用了这两个简单的规则。
作者创造了一个可以表现乘法的 t-q 系统，然后利用合数和素数的性质，也就是说所有合数都可以用两个大于 1 的数的乘积来表现，那么在推理规则里加一个条件，t-q 系统就变成了可以表现合数的形式系统。书中把这个一长串解释简化叫做 C 型定理。
而作者的目的是——“可我们现在的目标是做一个形式系统，使定理都是 Px 的形状，其中字母 x 代表一个短杠符号串，并且只有当短杠符号串中的短杠数目是素数时才能成为定理。这样，P--- 是一个定理，而 P---- 则不是。怎么能用印符操作来做这件事？”这就是这一篇当中给出的要求，把这个可以区分素数和合数的形式系统叫做P型定理，而现在我们做到的是C型定理。
C 系统只能表现合数数目的短杠数，而我们的要求是P系统。看起来二者之间的关系已经非常接近了，可问题就在于如果限制于形式系统的表现方式，我们没办法从 C 系统跨到 P 系统。这一步的差距真的可以说是咫尺天涯，可以联想到上一篇笔记里说的那个关于两分法悖论的证明问题。这是计算机和真人思维差距的最明显的表现，我们的思维已经可以理解这个概念了，而计算机受制于形式系统，无论如何也得不到那个结果。
音乐与图画中的图形与衬底
“当一个图形或者‘正空间’（例如，一个人形、一个字母、一个静物）画在画框里时，不可避免的也就画上了与它互补的形状——也称作‘衬底’、‘背景’或‘负空间’。在多数绘画中，这种图形与衬底的关系不起多少作用。艺术家对衬底远不如对图形那么感兴趣。”——这是图画中的衬底。
“在音乐中也可以找到图形和衬底。类比之一就是旋律与伴奏之间的区别——因为在某种意义上讲，旋律总是处在我们注意力的前沿，而伴奏是第二位的。因此当我们在一部乐曲的叫低声部发现可识别的旋律时会很惊奇。这种乐曲在巴洛克以后的音乐中不太常见。和声通常不被当作是前景。但是在巴洛克音乐中——尤其是在巴赫的音乐里——各个声部，不论是高是低或在中间，都是起‘图形’作用的。”
（其实作为一个讨厌复调乐曲的人，看不出这个比喻的恰当性，因为复调旋律意味着左手的旋律很强，而本人左手又很菜所以复调乐曲比较难弹，没有什么好感）
素数的判定系统
这一部分超过了我的认知能力，因此以下片段均摘自他人的文章
首先是递归，也叫做递回，在数学和计算机科学中，指在函数（在数学中为两集合的一种对应关系）的定义中使用函数自身的方法。也可以用来描述以自相似的方法重复事物的过程。比如上面制作的这个tq形式系统的运算就是如此，带入下一个字符串的x、y、z的短杠数目来自于上一个字符串，如此循环往复。形象点说就是
“当两面镜子相互之间近似平行的时候，镜中嵌套的图像就是以无限递归的形式出现的，也可以理解为自我复制的过程。”——摘自维基百科
而递归论也叫做可计算性理论（概念上来说相对狭义一点），是数学逻辑当中的一个分支。它用于研究可计算函数和图灵度（不可解度）的研究它所考虑的基本问题是，给定一个从自然数到自然数的函数 f，f 是否可以被计算的。“可以被计算”这个结果，假如以我们的思维直觉来看，是有这个结果的，那么一个函数可以被计算就存在一个给定过程，就是有输入，然后经过一定的操作输出。把计算这个直观的概念上升到数学层面的形式化定义就是递归论的根本。对我们的直观感受来说，所谓计算就是输入——计算——结果。但是针对计算本身这一操作是什么样的？有什么规律这个问题一般来说不回去想的太细。如果要细分的话很难讲清楚，大概又会回到那个两分法悖论的证明问题上面去。
那么接下来终于可以说到递归集合了，递归集合就是在可计算理论（递归论）当中，一个自然数的子集被称为递归的、可计算的或具可判定性，如果可以构造一个算法，是只能在有限时间内终止并判定一个给定元素是否属于这个集合。（上面那个费力地要构建出来的判定素数的形式系统就类似这么个工作。）
而递归可枚举集合定义是：假设一个可数集合S被称为是递归可枚举、计算可枚举的。如果存在一个算法，可以把S集合中的成员枚举出来。那么输入S集合的元素时，这个计算就会停止，反之则会无限的运行下去。
这里看起来好像说的非常复杂，但其实实际操作中可能是一个意外简单的事情。因为在前面的三个形式系统中，类似的事情我们已经做过了。比如 WJU 形式系统中，如果得不到要求的字符串，推导规则就会无限的运行下去，一直到得到那个结果，运算就会停止（理论上的）。p-q 系统和 t-q 系统则类似于用印符操作的方式构建出那个计算规则。
那么把这个问题推广出去，通过前面举出的那个图形和衬底的问题来看待数学集合。我们知道并不是每一幅画都可以做到图形和衬底有一样的意义。所以同样的，并不是所有的数学集合都是递归的。这个问题讨论的用词看上去非常的专业，非常的高大上，但是面对的问题可能是一些意外的 很质朴的问题。
通过形式系统构建，还有素数和合数的关系，以及图形和衬底之间的关系。我们发现了我们是如何“知道”一些“轮廓外面的东西”。任何东西我们划定一个画框出来，我们自己可以明确判定的东西就是轮廓，那么我们在图形的范围内所有的东西都是清晰明了的，可操作的。但我们也同样了解轮廓之外的衬底部分，恰恰就是通过图形和衬底之间的关系了解的。
看起来上面说了那么多，好像很复杂，好像很难。但其实在过程中结果已经提示给我们了。联想阿基里斯猜测乌龟给的那个字谜一样。我们在讨论纠结的过程中答案已经出来了。既然我们已经得到一个用乘积来表现合数的 t-q 形式系统，而且考虑到图形和衬底之间的关系，那我们只需要把概念颠倒过来就可以了，不需要表现素数地乘积问题（只能用 1 乘以素数本身），而是用除法，直接表现素数地不可整除性就可以了。书里后来也给出了答案，直接用一条公理和一条推理规则来表现一个数不能整除另一个数这个概念就可以了。
（太难了真的太难了，还需要反复看看）