2023“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（1）Umamusume

2023“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（1）Umamusume

题目大意

"Makea newtrack"是"Umamusume"游戏的一种新模式。在游戏中，会有n轮来提升属性，每一轮可以选择休息、训练或者比赛。

休息：增加50TP
训练：消耗50TP并增加15速度点数（TP少于50将失败）
比赛：消耗50TP并增加100G（TP少于50将失败）

在第一轮中，你有100TP。

你可以在特殊商店中花费G来获得物品，特殊商店每6轮刷新可以购买的物品（第6轮将是最早购买物品的时间）。每种物品在商店中出现的概率为$p$（它可以存在于商店中但不出售任何物品，且每种物品的数量只有一个）。不同的物品有不同的价格和功能：

物品名称	价格	功能
TP药（L）	100G	增加100TP
TP药（M）	50G	增加50TP
TP药（S）	25G	增加25TP
魔法书（L）	100G	增加15速度点数
魔法书（M）	50G	增加7速度点数
魔法书（S）	25G	增加3速度点数
喇叭	100G	下一次训练速度点数将变为2倍
权重	200G	下一次训练速度点数将消耗100TP，但变为3倍

（权重不能与喇叭同时使用）

每个物品可以购买多次，并且你可以在购买后的任何一轮中使用物品。你事先知道商店中所有的物品，并且你很聪明。你想要知道预期的速度点数。

输出答案模$10^9+7$后的值。

有$t$组数据。

$1\le t\le 10000,0\le n\le 10^9,0\le p<10^9+7$

题解

我们可以发现，用道具的收益不超过休息再训练的收益。那么，在一般情况下，我们可以在TP值超过$50$时训练，不超过$50$时休息。

当$n$为偶数时，答案为$(n/2+1)\times 15$。

当$n$为奇数时，轮流训练和休息会导致有一轮没有收益，我们考虑用比赛和道具来获得收益。

我们可以进行一次比赛，花费50TP获得100G，再用其中50G来购买一个加$50$的体力药或者两个加$25$的体力药，获得50TP并用其来训练。这样就能在消耗一个回合但不消耗体力的情况下得到50G。

50G在商店中可以增加$7$速度点数一次或者增加$3$速度点数两次。还要考虑商店中物品总共出现的次数。最后有四种可能：速度点数增加$7$，速度点数增加$6$，速度点数增加$3$，速度点数不增加。

分别算出种情况的概率，最后相加即可。

code

#include
using namespace std;
const long long mod=1000000007;
int tp;
long long n,p;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
int main()
{
	scanf("%d",&tp);
	while(tp--){
		scanf("%lld%lld",&n,&p);
		if(!n){
			printf("0\n");
			continue;
		}
		if(n<6){
			printf("%lld\n",(n/2+1)*15);
			continue;
		}
		if(n%2==0){
			printf("%lld\n",(n/2+1)*15%mod);
		}
		else{
			int t=n/6;
			long long v1,v2,vt,k1,k2,k3,k4,ans;
			v1=(1-mi(1-p+mod,t)+mod)%mod;//有一个或以上的这类物品的概率
			v2=(1-(mi(1-p+mod,t)+mi(1-p+mod,t-1)*p%mod*t%mod)%mod+mod)%mod;//有两个或以上的这类物品的概率
			vt=(1-(1-v1)*(1-v2)%mod+mod)%mod;//有体力药的概率
			k1=vt*v1%mod;//第一种可能
			k2=vt*mi(1-p+mod,t)%mod*v2%mod;//第二种可能
			k3=vt*mi(1-p+mod,t)%mod*mi(1-p+mod,t-1)%mod*p%mod*t%mod;//第三种可能
			k4=(1-(k1+k2+k3)%mod+mod)%mod;//第四种可能
			ans=(15*(n/2)+22)*k1%mod+(15*(n/2)+21)*k2%mod+(15*(n/2)+18)*k3%mod+(15*(n/2)+15)*k4%mod;//统计答案
			ans=ans%mod;
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}