线性代数(基础篇)：第一章:行列式 、第二章:矩阵

线性代数

0：串联各章

等价条件

1. ①|A|≠0，A可逆
⇦⇨②r(A)=n，A满秩
⇦⇨③α₁,α₂,…α_n线性无关
⇦⇨④Ax=0仅有零解

2. ①|A|=0，A不可逆
⇦⇨②r(A) ⇦⇨③α₁,α₂,…α_n线性相关
⇦⇨④Ax=0有非零解

第1章 行列式

1.行列式的定义

(1)行列式的本质定义

二阶行列式是以两个向量为邻边的平行四边形的面积，三阶行列式是以三个向量为邻边的平行六面体的体积，n阶行列式是以n个向量为邻边的n位图形的体积。

所以，读者应有这样的观点：把行列式看作是由若干个向量拼成的。
行列式的值非0时，具体是多少，只是量的问题。行列式的值是否为0，是一个质的问题。
例：①D₃≠0，则体积不为0，3个向量线性无关。若D₃=0，则3个向量线性相关。
②D_n≠0，n个向量线性无关。D_n=0，n个向量线性相关。

(2)行列式的逆序数法定义

1.排列和逆序

2.n阶行列式定义 (逆序数法)
【注意，行下标要顺排。求列标的逆序数，确定正负号】

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举例1：

举例2：行列式的逆序数定义是“对角线法则”的由来。对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。

例题1：

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(3)行列式的展开定理 (第三种定义)

1.余子式
去掉$a_{ij}$所在的第i行、第j列元素，余下元素组成的n-1阶子行列式，称为$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$

2.代数余子式
代数余子式：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

3.行列式的行(列)展开定理
(1)行展开定理：同一行的元素与代数余子式相乘，为行列式的值，即 $\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{ik}=|A|(i=1,2,\mathrm{3...}n)$   【将n阶行列式 降阶为 n个n-1阶行列式】

(2)不同行的元素与余子式相乘为0：$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=0(i\ne j)$

2.行列式的性质

1.行列互换，其值不变：$|A|=|A^T|$   【行列地位等价】
2.行列式中 某行(列)元素全为0，则行列式值为0
3.若行列式某一行有公因子k，则可以提到行列式的外面   【倍乘】
4.行列式中某行元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和。反之，可相加。   (单行可拆性、单行可加性)

5.行列式中 两行(列)互换，行列式值反号
6.行列式中 两行元素相等或对应成比例，则行列式值为0
7.某行乘k倍加到另一行，行列式值不变   【倍加】

3.行列式的公式

1.$|AB|=|A|\cdot |B|$   (A B为同阶方阵)
推论：$|A^n|=|A{|}^n$

2.若A为n阶方阵，则$|kA|=k^n|A|$

3.一般地，$|A+B|\ne |A|+|B|$

4.$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

5.不满秩、不可逆、向量组线性相关，则行列式 = 0       满秩、可逆、行列式非零、线性无关的关系

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例题1：23李林四(一)15.

分析：
答案：2048

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4.基本行列式

(1)主对角线行列式

右上三角行列式、左下三角行列式、对角行列式：主对角线元素的乘积

(2)副对角线行列式

逆序数 $\tau (n,n-1,n-2,...1)=(n-1)+(n-2)+...+1=\frac{n(n-1)}{2}$

(3)拉普拉斯行列式

主对角线、副对角线的分块矩阵的行列式

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例题1:计算行列式

分析：凑分块矩阵、零矩阵。将13列互换，再将24行互换
答案：$(a_1{a}_4-b_1{b}_4)(a_2{a}_3-b_2{b}_3)$

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(4)范德蒙德行列式

盯着第二行，所有大的下标减去小的下标

(5)爪型行列式

斜爪 消 平(竖)爪，化为三角行列式

(6)异爪型行列式：递推法

(1)阶数不高：直接展开 ①凑0最多 ②按展开后基本型最多(三角行列式最多)的方式展开
(2)阶数较高，n阶：递推法

(1)递推法：建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$ 的关系式，从而实现递推。
①元素分布规律相同
②$D_{n-1}$只比 $D_n$ 少一阶

(2)展开方法
①三对角行列式方法：所有的行加到最后一行 (所有列加到第一列)，然后展开。观察负号。
②两斜一横(竖)：对爪尾的两个尖尖进行展开，找递推规律

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例题1：低阶

分析：异爪型行列式，按照最后一行展开。发现余子式均为主对角线行列式

答案：${\lambda }^4+{\lambda }^3+2{\lambda }^2+3\lambda +4$

例题2：15年13.   求n阶异爪型行列式

分析：异爪型行列式，按照爪尾的两个尖尖展开，找递推规律

答案：$2^{n+1}-2$

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(7)行(列)和相等

全部加到第一列，提取公因式，第一列全为1。
再将第一列下方全消为0，按照第一列展开。

(1)主对角线

分析：行和相等，为 a+(n-1)b

答案：

(2)副对角线

5.求行列式

(1)具体型行列式的计算

①化7大基本行列式、7大性质、行展开定理、逆序数法
②递推法：n阶异爪型行列式
③含x：行列式表示的函数和方程

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例题1：

答案：

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(2)抽象行列式

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例题1：

分析：从右向左，化简目标，凑成已知

答案：a+b

例题2：将向量的线性组合 表示为 矩阵相乘的形式

分析：

答案：10

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(3)代数余子式 的改写

第2章 矩阵

1.矩阵的定义

1.矩阵：
矩阵本身是一个数表，不进行运算。矩阵由若干个向量组成。
①m×n矩阵 ②n阶方阵 (n阶矩阵，即为n×n矩阵)

2.同型矩阵：
行数相同，列数也相同

方阵

1.方阵定义：
方阵为行列数相等的矩阵，如A_nn、A_mm

2.只有方阵才有的性质：
(1)行列式
只有方阵才有行列式。
别再问汤家凤老师3行4列的行列式怎么算了。“你有没有发现把我吓死了”(doge)

(2)逆矩阵
1.可逆矩阵一定是方阵。
2.如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。

(3)特征值
只有方阵才有特征值与特征向量

2.矩阵运算

五大矩阵运算：①求行列式 ②求转置 ③求逆 ④求伴随 ⑤求幂

(1)相等

(2)加法

(3)数乘矩阵

(4)矩阵乘法
$c_{ij}$为$a_i$和$b_j$两向量的内积

注：

矩阵乘法不满足交换律，不能随意交换位置，$AB\ne BA$
故：①$(AB{)}^2\ne A^2{B}^2$，正确的写法应该是 $(AB{)}^2=ABAB\ne AABB$
②$(A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2$，正确的写法应该是$(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$

(5)转置、转置矩阵
①若A为方阵，$|A|=|A^T|$
②$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

(6)向量的内积与正交

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例题：

答案：

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(7)施密特正交化

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例题：

答案：

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(8)矩阵的幂

求矩阵的幂Aⁿ：
①r(A)=1：Aⁿ=[tr(A)]^n-1·A

②试算A²、A³，归纳Aⁿ

③A = B+C，Aⁿ = (B+C)ⁿ。要求BC=CB，可用二项展开式 。一般令C=kE

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例题1：试算，归纳

答案：

例题2：Aⁿ=(B+C)ⁿ

答案：

例题3：23李林四(一)23.

答案：

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3.几种重要矩阵（几种特殊矩阵）

1.零矩阵
O

2.单位矩阵
E或I

3.数量矩阵
kE

4.对角矩阵 (对角阵)

Λ = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Λ=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ & & & λ_n \end{array}\right) Λ= ​λ1​​λ2​​...​λn​​ ​

对角阵的幂：主对角线上元素各取幂
Λ n = ( λ 1 n λ 2 n . . . λ n n ) Λ^n=\left(\begin{array}{cc} {λ₁}^n & & \\ & {λ₂}^n & \\ & & ...\\ & & & {λ_n}^n \end{array}\right) Λn= ​λ1​n​λ2​n​...​λn​n​ ​

举例n=-1：
对角阵的逆矩阵：主对角线上元素都取倒数
Λ − 1 = ( 1 λ 1 1 λ 2 . . . 1 λ n ) Λ^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{λ₁} & & \\ & \frac{1}{λ₂} & \\ & & ...\\ & & & \frac{1}{λ_n} \end{array}\right) Λ−1= ​λ1​1​​λ2​1​​...​λn​1​​ ​

5.上/下三角矩阵
上(下)三角矩阵和对角阵的特征值，均为主对角线元素

6.对称矩阵
$A^T=A\iff a_{ij}=a_{ji}$

若 $a_{ij}=A_{ij}$，则 $A^T=A^{\ast }$

7.反对称矩阵
$A^T=-A\iff \{\begin{array}{rl}{a}_{ij}& =-a_{ji}，i\ne j\\ a_{ii}& =0\end{array}$

8.正交矩阵
定义：$A^{T}A=A{A}^T=E$
等价于：$\iff A^T=A^{-1}$

9.分块矩阵

性质：副对角线要对调位置

(1)分块矩阵的逆矩阵：
①对角阵
主对角线：${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$

副对角线：${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$

②三角阵

左乘同行，右乘同列，取相反数

主对角线：
${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$

副对角线：
${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{cc}C& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\end{array}\right)$

(2)分块矩阵的转置矩阵
主对角线：${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}{A}^T& O\\ O& B^T\end{array}\right)$

副对角线：${\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}O& B^T\\ A^T& O\end{array}\right)$

10.幂零矩阵
$A^k=O$
幂零矩阵的主对角线元素为0，每升一次幂，元素就向右上方移动一斜行，秩减一。

11.幂幺矩阵
$A^k=E$

12.行阶梯形矩阵
①若有零行，全在下方：所有非零行在所有零行的上面
②从行上看，出现连续0的个数自上而下严格单增：所有非零行的首个非零元所在列标严格单增

13.行最简形矩阵
①首先是行阶梯形矩阵
②每个非零行的首个非零元(主元)为1
③每个非零行的首个非零元所在列的其他元素均为0

14.标准形矩阵
左上角为单位矩阵，其他元素均为0

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例题1：07年15.   幂零矩阵

分析：A的秩为3，A²的秩为2，A³的秩为1，Aⁿ=A⁴的秩为0

答案：1

例题2：08年5.   幂零阵、可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

分析：由$A^3=O$得$E\pm A^3=E$

即$E=E+A^3=(E+A)(E^2-AE+A^2)=(E+A)(E-A+A^2)$，则$E+A$可逆且$(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2$

即$E=E-A^3=(E-A)(E^2+AE+A^2)=(E-A)(E+A+A^2)$，则$E-A$可逆且$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$

答案：C

例题3：18年6.

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4.可逆矩阵

(1)可逆矩阵的定义

1.对于n阶方阵A，若存在一个n阶方阵B，使得$AB=E或BA=E$，则A、B互逆：
①$A=B^{-1}，B=A^{-1}$
②$AB=E=BA$

2.特殊情况：若$A(kB)=E$，则$kB$为A的逆矩阵

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例题1：

分析：
$AB=A+B$
$AB-A-B=O$
$A(B-E)-B=O$
$A(B-E)-(B-E)=E$
$(A-E)(B-E)=E$
∴$A-E$与$B-E$互为逆矩阵

答案：A

例题2：01年4.

解：由 $A^2+A-4E=O$，移项得 $A^2+A-2E=2E$
得 $(A+2E)(A-E)=2E$ $\therefore (A-E{)}^{-1}=\frac{1}{2}(A+2E)$   注意，系数要放在括号外，不要把矩阵写成分式

答案：$\frac{1}{2}(A+2E)$

例题3：23李林四(三)15.   $AB=E=BA$

分析：
凑可逆阵：由 $A^2=2AB+E$，移项得 $A^2-2AB=E$，即$A(A-2B)=E$。
∴$A$与$A-2B$互为可逆阵，∴$A(A-2B)=(A-2B)A$，即$A^2-2AB=A^2-2BA$。即$AB=BA$。
∴$|AB-BA+2A|=|2A|=2^3|A|=8\times 1=8$

答案：8

例题4：22年15.

分析：可逆矩阵的定义
或

答案：-E

例题5：08年5.   幂零阵、可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

①$E^3=E^3+A^3=(E+A)(E^2-AE+A^2)=(E+A)(E-A+A^2)$，则$E+A$可逆且$(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2$
②$E^3=E^3-A^3=(E-A)(E^2+AE+A^2)=(E-A)(E+A+A^2)$，则$E-A$可逆且$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$

答案：C

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(2)可逆矩阵性质

1.若n阶方阵A可逆，则A的逆矩阵必唯一

2.若n阶方阵A可逆，则 $|A|\ne 0$

3.若n阶方阵P为可逆矩阵，则$(P^{-1}{)}^T=(P^T{)}^{-1}$

4.乘可逆矩阵，不改变原矩阵的秩

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例题1：17年13.   乘可逆矩阵，不改变原矩阵的秩

分析：
A = ( 1 0 1 1 1 2 0 1 1 ) → ( 1 0 1 0 1 1 0 0 0 ) A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right)→\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right) A= ​110​011​121​ ​→ ​100​010​110​ ​   $\therefore r(A)=2$

矩阵$(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$
∵${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关   ∴$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$为可逆矩阵
∴$r(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=r(A)=2$

答案：2

例题2：17年5.

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(3)求逆矩阵

1.逆矩阵定义：$▯\cdot ▯=E$

$AB=E$，则 $A^{-1}=B$

2.用伴随矩阵求逆矩阵：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

求数值矩阵的逆矩阵，步骤：
①求|A|≠0
②求A*
③写出$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

注意，求$A^{\ast }$ 的时候：①$A^{\ast }$和$A_{ij}$的位置是竖着求的 ②注意负号 $A_{ij}=-(1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

3.初等变换法求逆矩阵：$(A|E)\to (E|A^{-1})$

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例题：2阶矩阵的逆矩阵 = 二阶矩阵的伴随矩阵 / 行列式
A*：主对调，副变号

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5.伴随矩阵 A*

(1)伴随矩阵的定义

若 A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) A= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​，则 A ∗ = ( A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33 ) A^*=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{array}\right) A∗= ​A11​A12​A13​​A21​A22​A23​​A31​A32​A33​​ ​

(2)伴随矩阵性质 (伴随矩阵公式)

1. $A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=|A|E⇨\{\begin{array}{r}{A}^{\ast }=|A|A^{-1}\\ A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}\end{array}$

推广为：·*=||E

推导： A ⋅ A ∗ = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ) ( A 11 A 21 . . . A n 1 A 12 A 22 . . . A n 2 . . . . . . . . . A 1 n A 2 n . . . A n n ) = ( ∣ A ∣ ∣ A ∣ . . . ∣ A ∣ ) = ∣ A ∣ E A·A^* =\left(\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &... &a_{2n}\\ ...&... &&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} A_{11}&A_{21} &... &A_{n1} \\ A_{12}&A_{22} &... &A_{n2}\\ ...&... &&...\\ A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} |A| & & & \\ &|A| & &\\ & &...&\\ &&&|A| \end{array}\right)=|A|E A⋅A∗= ​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​.........​a1n​a2n​...ann​​ ​ ​A11​A12​...A1n​​A21​A22​...A2n​​.........​An1​An2​...Ann​​ ​= ​∣A∣​∣A∣​...​∣A∣​ ​=∣A∣E

2.$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}\cdot A$

3.$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{rl}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$

4.$(k{A}^{\ast }{)}^n=k^{n-1}{A}^{\ast }$

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例题1：05年12.

分析：

答案：C

例题2：09年6.

答案：

例题3：11年6.   r(A*)的性质

分析：

答案：D

例题4：13年13.

分析：

答案：-1

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6.初等变换 与 初等矩阵

(1)三种初等变换

以下三种变换，称为矩阵的初等变换：
1.倍乘：用非零常数k乘矩阵的某一行(列)
2.互换：互换矩阵中某两行(列)的位置
3.倍加：将矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)

对行进行初等变换，称为初等行变换；对列进行初等变换，称为初等列变换

(2)初等变换性质

1.初等变换只有秩不变，其他：迹、特征值、行列式均可能改变。
理论上不改变特征值的初等变换，只有相似变换和正交变换。

(3)初等矩阵

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

1.倍乘初等矩阵 $E_i(k)$：第$i$行(或第2列)乘$k$倍
2.互换初等矩阵 $E_{ij}$：第$i,j$行(或第$i,j$列)互换
3.倍加初等矩阵 $E_{ij}(k)$：第$j$行的$k$倍加到第$i$行 (或第$i$列的k倍加到第$j$列)

(4)初等矩阵的性质

初等矩阵\性质	转置	求逆
①倍乘初等矩阵	${E_i}^T(k)=E_i(k)$，不变	${E_i}^{-1}(k)=E_i(\frac{1}{k})$
②互换初等矩阵	${E_{ij}}^T=E_{ij}$，不变	${E_{ij}}^{-1}=E_{ij}$，不变
③倍加初等矩阵	${E_{ij}}^T(k)={E_{ji}}^T(k)$，ij互换	${E_{ij}}^{-1}(k)=E_{ji}(-k)$

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例题1：23李林四(四)5.


分析：

答案：D

例题2：14年13.

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7.矩阵的秩

(1)矩阵的秩的定义

①设A是m×n矩阵，A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)
②若存在$k$阶子式不为零，且任意$k+1$阶子式(如果有的话)全为零，则$r(A)=k$，且$r(A_{n\times n})=n\iff |A|\ne 0\iff A可逆$
③矩阵秩的本质：组成该矩阵的线性无关的向量的个数，有且仅有k个

k阶子式：A中任取k行k列，交叉点的元素按照原来的位置排列的k阶行列式，称为k阶子式。

(2)秩的性质

1.$r(AB)\le min\{r(A),r(B)\}$
推论①：若A可逆，则$r(AB)=r(BA)=r(B)$

2.$AB=O$，则 $r(A)+r(B)\le A的列数$

3.$r(A+B)\le r(A)+r(B)$

$r(A+B)\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$

4.若A为m×n矩阵，矩阵的秩≤行秩，≤列秩。即$r(A)\le min\{m,n\}$

5.$r(A)=r(A^T)=r(A{A}^T)=r(A^{T}A)$

6.$r(A,B)=r(A,B{)}^T=r(\genfrac{}{}{0ex}{}{A^T}{B^T})$

7.分块矩阵的秩：
① $r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)$

② $r(A)+r(B)\le r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right)\le r(A)+r(B)+r(C)$

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例题1：18年6.

分析：矩阵是列分块的，可以作列变换而不改变矩阵的秩

A、B：(A,AB)=A(E,B)
∵r(A,b)≥r(A)，∴①r(A,AB)≥r(A)
∵r(AB)≤r(A)且r(AB)≤r(B)，∴②r(A,AB)=r[A(E,B)]≤r(A)
综上①②，r(A,AB)=r(A)
A✔B❌

C： $max\{r(A),r()B\}\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$ 。C❌

D：$r(A,B)=r(A,B{)}^T=r(\genfrac{}{}{0ex}{}{A^T}{B^T})$，D❌

答案：A

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8.等价矩阵、等价标准型

1.等价矩阵：
①如果矩阵A经初等变换得矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价
②同型下，r(A)=r(B)

2.等价标准型：
满秩矩阵可经初等变换为单位阵，不满秩则只能化为$\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$形式

第3章 向量

第4章 方程组

第5章 特征值

第6章 二次型