函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1.1 增量

设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差就叫做变量的增量，记作，即。

1.2 定义

定义设函数在点的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数在点连续。

设函数在点的某一邻域内有定义，如果

那么就称函数在点连续。

二、函数的间断点

设函数 在点的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：
（1）在没有定义；
（2）虽在有定义，但不存在；
（3）虽在有定义，且存在，但,
那么函数 在点为不连续，而点称为函数 的$不连续点或间断点。

其中分为无穷间断点、振荡间断点、可去间断点、跳跃间断点。
如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点。
不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。