守卫者的挑战’s 题解

啊，刚好作为一道从做数论转移到做dp的一道题

吐槽这守卫者太善良了吧（对敌人的善良就是对自己的残忍啊）

题目意思是说给你 $n$ 个任务，每个任务有一个完成概率 $p[i]$，然后每个任务完成后你可以获得一个属性 $a[i]$，你完成的任务的集合为 $S$，问你 $|S|>=l$ 并且 $k+{\sum }_{i=0,i\in S}^{n}a[i]>=0$ 的概率为多大（$l,k$ 由题目给出）

一道数学期望dp，但看题目很容易去联想到背包dp，确实也得用一下背包dp套路（需要记录的状态为前几个挑战，赢下了其中几个，背包剩余容量），初始 $f[0][0][k+maxn]=1$（0个任务完成0个背包容量还剩下k的概率为100%）

这题有些坑点，一是你可能在中间的时候装不下，但最后还是能装下的，所以说背包剩余容量可能为负数，需要平移数组，而明显由于每次最多 $-1$，所以最多 $-n$，所以明显你如果当前容量 $>n$，你只需要当做 $n$ 来计算就可以了，所以数组不用开很大，然后 $p[i]$ 输进来的时候，由于输入的是 $n$% 中的 $n$，所以得开个double，输进来就把它除以100（当然你也可以试试所有的都当做完之后再除以100）

然后注意转移有当前成功和失败有两种情况，枚举当前容量的情况注意要从最小的可能的情况开始枚举

最后的答案就是把所有当前挑战数=0，赢得的挑战数>=l，背包容量>=0时的值累加

#include
using namespace std;
const int maxn=200+10;
int n,l,k,a[maxn];
double p[maxn],sum=0;
double f[maxn][maxn][maxn<<1];
//（前几个挑战，赢下其中几个，背包剩余容量）的概率 
void freo(){
	freopen("test.in" ,"r",stdin );
	freopen("test.out","w",stdout);
}
void init(){
	scanf("%d%d%d",&n,&l,&k);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%lf",&p[i]);
		p[i]/=100.0;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
}
int gg(int x){
	x=min(x,n);//只跟n的大小比较即可 
	return x+maxn;//可以出现中间放不下最后放下的情况，所以会出现负数要平移 
}
void work(){
	f[0][0][gg(k)]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
			for(int h=1-i;h<=n;++h){
			//失败成功两种转移，h从可能的最小值开始枚举 
				f[i][j][gg(h+a[i])]+=f[i-1][j-1][gg(h)]*p[i]; 
				f[i][j-1][gg(h)]+=f[i-1][j-1][gg(h)]*(1-p[i]); 
			}
	for(int i=l;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=n;++j)
			sum+=f[n][i][gg(j)];//答案就是把所有j>=l,h>=0时的值累加
}
void prin(){
	printf("%lf",sum);
}
int main(){
	freo();
	init();
	work();
	prin();
	return 0;
}

其实还是想再写会数论的说（那就先把dp的练习做点再做数论吧。。。）