二维坐标基本变换（平移、旋转、缩放、镜像、阵列）

诸如图像、模型等的基本变换，实际上都是点坐标的变换，通过矩阵，可以非常方便的达到这个目的。在下文仅介绍二维坐标变换原理。

首先，定义点类如下：

//定义点类，亦可表示向量
class vec2
{
public:
	float v[2];//v[0]为横坐标，v[1]为纵坐标
	vec2(){}
	~vec2(){}
	//构造函数，例vec2 p(0,0);表示构造p点坐标为（0,0）
	vec2(const float &x, const float &y){v[0] = x; v[1] = y;}
	//重载[]，如vec2 p ;p[0]即表示x坐标值，p[1]表示y坐标值
	float &operator[] (int i) { return v[i]; }
	const float &operator[] (int i) const { return v[i]; }
};

注意，为了形式统一，变换矩阵应统一为3*3阶，同理，对于三维坐标变换矩阵应是4*4阶。关于矩阵的表示，实际上便是一个二维数组，其相关运算可以直接利用Eigen库，具体如何配置就不在此赘述。矩阵如何定义可参考如下，注意矩阵的初始化不应该是全部元素为0，而是对角元素为1，其余为0，即单位矩阵E.

class  Matrix2D 
{
public:
    double A[3][3];
} ; 

对于一点表示为1*3的矩阵，则一个点集S = {}表示为一个n*3的矩阵：

我们将这个矩阵称为原始矩阵，而后续的变换表示为这个矩阵乘以一个或多个矩阵，实则为两个二维数组的乘法与加法。

一、平移

对于平移我们需要知道一个平移的方向和平移的距离，因此可以通过一个向量表示这2个量，即

，平移矩阵表示为：

 平移后的坐标即为*。

二、旋转

对于旋转我们需要的是一个弧度θ，则旋转矩阵表示为：

 若只是乘上，表示的是坐标绕原点旋转，如果输入旋转中心，应将目标点的坐标平移到旋转中心，完成旋转后再平移回来，变换矩阵应为**，即： 

 

 旋转后的坐标即为 * **。

三、缩放

对于缩放我们需要的是一个缩放系数t，则缩放矩阵表示为：

若输入缩放中心，同旋转，应先平移到缩放中心缩放完再平移回来。变换矩阵应为，即：

缩放后的坐标即为  *。

四、镜像

对于镜像，我们需要输入对称轴，即输入2个点p,q，但实际上计算需要的是对称轴的法向量，通过p-q获得对称轴方向向量，再求其垂直向量即可。镜像矩阵表示为：

另外就是需要一个表示对称轴位置的点，在输入的对称轴2点中随便取一点即可，表示为 ，变换矩阵为，即：

镜像后的坐标即为*。

五、阵列

阵列可以分为环形阵列和方向阵列。

1.环形阵列

和旋转变换类似，输入阵列中心，阵列数量，通过不断旋转获得阵列对象，变换矩阵表示为：

环形阵列的每个对象坐标为*。

2.方向阵列

和平移变换类似，输入2个点，表示阵列的方向，实际上我们需要的是单位方向向量、阵列对象之间的间距和阵列数量，其单位方向向量由输入的2个点相减后除以模长获得，变换矩阵表示为：

方向阵列的每个对象坐标为*。 

六、实现效果

在MFC中实现的效果如下图所示：