全概率公式和贝叶斯公式

一、完备事件组

设E是随机试验，Ω是相应的样本空间，A1，A2，...，An为Ω的一个事件组，

若两两事件互斥且所有事件的并集为全集，则称A1A2...An为样本空间的一个完备事件组。

二、条件概率

设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率：

P(A|B)=P(AB)/P(B)

特例：事件A和事件B互斥，则条件概率为0.

三、全概率公式

全概率公式以加法公式和乘法公式为基础。

全概率公式：通过已知每种"原因"发生的概率，求"结果"发生的概率，"原因"发生的概率称为"先验概率"，即"已知原因，分析结果"。

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)

间接求概率P(A)。

四、贝叶斯公式

贝叶斯公式以条件概率公式和全概率公式为基础。

从已知"结果"发生的条件下分析各个"原因"引起的条件概率，这个条件概率称为"后验概率"，即"已知结果，分析原因"。

P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi) / P(A)

五、举例理解

        我该怎么来理解这2个公式呢？打个比方，假设学校的奖学金都采取申请制度，只有满足一定的条件你才能拿到这比奖学金。那么有哪些原因能够使你有可能拿到奖学金呢？1、三好学生，拿到奖学金的概率是p(A1)=0.3。 2、四好学生，拿到奖学金的概率是p(A2)=0.4。3、五好学生，拿到奖学金的概率是p(A3)=0.5。4、六好学生，拿到奖学金的概率是p(A4)=0.6。这些学生只能是三好四好五好六好学生种的一种，不能跨种类。这个学校学生是三好学生的概率是p(B1)=0.4，四好学生的概率是p(B2)=0.3，五好学生的概率是p(B3)=0.2，六好学生的概率是p(B4)=0.1。现在问题出来了，一个学生能够拿到奖学金的概率是多少？

       慢慢来分析，导致一个学生拿到奖学金的方式有哪些？这个学生是三好学生，刚好他又凭借三好学生的身份申请到了奖学金p1=p(A1)*p(B1|A1)=0.4*0.3=0.12；这个学生是四好学生，刚好凭借他四好学生的身份拿到了奖学金，p2=p(A2)*p(B2|A2)=0.3*0.4=0.12；这个学生是五好学生，刚好凭借他五好学生的身份拿到奖学金，p3=p(A3)*p(B3|A3)=0.2*0.5=0.10；这个学生是六好学生，刚好凭借他六好学生的身份拿到了奖学金，p4=p(A4)*p(B4|A4)=0.1*0.6=0.06。四种方式都能导致一个学生拿到奖学金，那么拿到奖学金的概率为p=p1+p2+p3+p4=0.4.所以这么理解全概率公式：导致一个事件发生的原因有很多种（各种原因互斥），那么这个事件发生的概率就是每种原因引起该事件发生的概率的总和。

       一个学生已经拿到了奖学金，这个学生是三好学生的概率是多少？p=p1/(p1+p2+p3+p4)=0.3。怎么理解呢？一个事件已经发生了，有很多原因都能导致这个事件发生。那么其中的一种原因导致该事件发生的概率是多少？这就是贝叶斯概率公式解决的问题。就正如一本书现在已经被别人借走了（事件已经发生），已知只有可能是张三，李四，王五这3个人借走（事件发生的所有原因）。那么这本书被张三借走的概率会是多大呢？