数据结构初阶--二叉树的顺序结构之堆
目录
一.堆的概念及结构
1.1.堆的概念
1.2.堆的存储结构
二.堆的功能实现
2.1.堆的定义
2.2.堆的初始化
2.3.堆的销毁
2.4.堆的打印
2.5.堆的插入
向上调整算法
堆的插入
2.6.堆的删除
向下调整算法
堆的删除
2.7.堆的取堆顶元素
2.8.堆的判空
2.9.堆的求堆的大小
三.堆的创建
3.1.向上调整建堆
时间复杂度
3.2.向下调整建堆
时间复杂度
四.堆的应用
4.1.堆排序
步骤一：建堆
步骤二：排序
4.2.TOP-K问题
一.堆的概念及结构
1.1.堆的概念
若n个关键字序列L[1...n]满足下面某一条性质，则称为堆(Heap)
- 若满足：L(i)>=L(2i)且L(i)>=L(2i+1)(1<=i<=n/2)--大根堆(大顶堆)
- 若满足：L(i)<=L(2i)且L(i)<=L(2i+1)(1<=i<=n/2)--小根堆(小顶堆)
大根堆在逻辑视角上可以看成所有子树根>=左，右的完全二叉树。相应的小根堆也可以看成根<=左，右的完全二叉树。
堆的性质：
- 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
1.2.堆的存储结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储。
二.堆的功能实现
2.1.堆的定义
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;//开辟一个动态数组a
int size;//当前元素个数
int capacity;//数组的最大容量
}HP;定义一个struct来保存堆的信息，主要包含数组首元素的地址a，数组中当前元素个数size以及数组的最大容量capacity。堆的定义同顺序表的定义类似。
2.2.堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//将数组首元素的地址位置空
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}在初始化堆之前，首先需要对传入的参数php进行断言判断其是否为空，然后将数组首元素的地址置为空NULL，最后再将size和capacity都初始化为0。
调试分析：
2.3.堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//释放
free(php->a);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}在销毁堆之前，首先需要对传入的参数php进行断言判断其是否为空，然后调用free函数释放数组首元素的地址，并将数组首元素的地址置为空NULL，最后再将size和capacity都置为0。
调试分析：
2.4.堆的打印
void HeapPrint(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//打印
for (int i = 0; i < php->size; ++i)
{
printf("%d ", php->a[i]);
}
printf("\n");
}首先判断传入的参数php是否为空，然后进行for循环依次打印数组中的各个元素。
2.5.堆的插入
当在堆中插入新元素时，对于小根堆，新元素放到表尾，与父结点对比，若新元素比父结点更小，则将二者互换。新元素就这样一路向上调整，直到无法继续上升为止。
向上调整算法
当在堆的末尾插入一个新元素，而新插入的元素可能会破坏堆的性质，这时就要进行调整。以小堆为例，当新元素大于其对应的父结点，则满足堆的性质，无需调整；当新元素小于其对应的父结点，则不满足堆的性质，要进行调整。
调整规则：
若新插入的元素child小于其对应的父结点parent，则调用Swap函数，将二者进行交换，此时child来到父结点parent的位置，其对应的新的父结点的下标为(child-1)/2，然后将child继续与parent进行比较，依次往上执行，直到child大于其对应的父结点parent，则跳出循环。
循环判断条件为：child>0，这是考虑到最坏的情况，也就是当child一直小于其对应的父结点时，child经过最后一次交换来到根结点的位置时，此时堆的调整已经结束。
实现：
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向上调整(小堆)
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
//查找父结点下标
int parent = (child - 1) / 2;
//最坏情况是一路调整到根
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]
{
//将父子结点进行交换
Swap(&a[child], &a[parent]);
//把父结点的下标赋值给孩子
child = parent;
//再去查找父结点的下标
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
//若已构成堆，则直接跳出循环
break;
}
}
}
堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
//判空
assert(php);
//检查容量是否为空或已满
if (php->size == php->capacity)
{
//扩容
int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;//为空就开辟四个元素空间，不为空，就扩容至二倍
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
//判空
if (tmp == NULL)
{
printf("realloc fail\n");
exit(-1);
}
//将新开辟的内存空间的首地址tmp赋值给a
php->a = tmp;
//更新capacity
php->capacity = newCapacity;
}
//插入
//先将元素插入到堆的末尾，即最后一个孩子后面
//插入之后如果堆的性质遭到了破坏，则将新插入结点顺着其双亲往上调整到合适的位置
php->a[php->size] = x;//注意：size指向数组最后一个元素的下一个位置
php->size++;
//向上调整
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}在堆中插入元素之前，首先需要检查当前容量是否为空或者已满。若容量为空，则调用realloc函数开辟四个元素的内存空间，若容量已满，则调用realloc函数将内存空间开辟到原来的二倍，并将新开辟的内存空间的首地址tmp赋值给a，同时更新capacity。接着便可以插入元素，因为size是指向数组最后一个元素的下一个位置，所以先将新元素x插到下标为size的位置，然后再将size+1。最后再调用AdjustUp函数，进行向上调整。
调试分析：
运行结果：
2.6.堆的删除
堆的删除是删除堆顶的元素，将堆顶的元素与最后一个元素交换，然后删除数组最后一个元素，再进行向下调整。
向下调整算法
当对堆进行删除时，删除的往往是堆顶元素，删除之后可能会破坏堆的性质，这时就要进行调整。以小堆为例，在删除之前，首先将堆顶元素与最后一个元素交换，交换完之后再将最后一个元素删除。然后从根结点开始依次向下调整，直到把它调整为一个小堆。
向下调整算法的前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
调整规则：
首先选出根结点的左右孩子中较小的那一个，这里先假设左孩子最小，然后将左孩子与右孩子进行比较，若左孩子小于右孩子，则不变；若左孩子大于右孩子，则将右孩子设为最小。然后将最小的孩子与父结点进行比较，如果比父结点小，则交换，交换完之后，把孩子结点child所在的下标赋值给父结点parent，并让child指向新的父结点的左孩子，然后依次向下比较，直到调整到叶子结点的位置；如果比父结点大，则调整结束。
实现：
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//1.选出左右孩子中小的那一个
int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
while (child < size)
{
//当右孩子存在且右孩子小于左孩子
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])//大堆：a[child+1]>a[child]
{
++child;//则将右孩子置为child
}
//2.小的孩子跟父亲比较，如果比父亲小，则交换，然后继续往下调整；如果比父亲大，则调整结束
if (a[child] < a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]
{
//交换数据
Swap(&a[child], &a[parent]);
//3.继续往下调，最多调整到叶子结点就结束
//把孩子的下标赋值给父亲
parent = child;
//假设左孩子最小
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}堆的删除
void HeapPop(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//判断数组是否为空
assert(php->size > 0);
//将第一个元素与最后一个元素交换，然后删除
Swap(&(php->a[0]), &(php->a[php->size - 1]));
php->size--;
//向下调整
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}在删除之前，首先需要判断数组是否为空，若为空则无法进行删除，若不为空则可以进行删除。然后调用Swap函数将数组的第一个待删除元素与数组的最后一个元素进行交换，并让size-1，删除最后一个元素。最后再调用函数AdjustDown，进行向下调整。
调试分析：
运行结果：
2.7.堆的取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//判断数组是否为空
assert(php->size > 0);
//根结点即为堆顶元素
return php->a[0];
}在取堆顶元素之前，首先要对数组进行判空操作，若数组为空则无法进行读取操作，若数组不为空则直接读取数组的首元素，数组的首元素也就是根结点，即为堆顶元素。
调试分析：
运行结果：
2.8.堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//看size的大小是否为0
return php->size == 0;
}
判断堆是否为空，只需判断size是否等于0，若size为0，则数组为空，即堆为空；若size不为0，则数组不为空，即堆不为空。
调试分析：
2.9.堆的求堆的大小
int HeapSize(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//size的大小即为数组的大小，也就是堆的大小
return php->size;
}求堆的大小，只需求数组中当前元素个数，也就是求size的大小。
调试分析：
三.堆的创建
3.1.向上调整建堆
向上调整建堆，实际上是模拟堆的插入过程。首先，将数组中的第一个元素看做是堆的根结点，然后将数组中的元素依次插入堆中，每插入一个元素，就调用函数AdjustUp向上调整一次，直到将所有的元素均插入堆中。
实现：
for (int i = 1; i < n; ++i)//从第一个位置插入
{
AdjustUp(a, i);
}时间复杂度
因为堆是一棵完全二叉树，而满二叉树又是一种特殊的完全二叉树，为了简化计算，我们不妨假设此处的堆是一棵满二叉树。
由上图得，对于高度为h的满二叉树构成的堆，最多进行向上调整的次数设为
，有：
综上，证得向上调整建堆的时间复杂度为O(N*logN)。
3.2.向下调整建堆
首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好，然后从倒数第一个非叶子结点开始，调用函数AdjustDown依次向下调整。每调整一次，则将i的值减1，让其来到倒数第二个非叶子结点的位置，重复上述操作，直到i来到根结点的位置。
实现：
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标，求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2
{
AdjustDown(a, n, i);
}注意：
我们可以直接通过向上调整算法来建堆，但是我们不可以直接通过向下调整算法来建堆。因为向下调整算法的前提：左右子树必须是堆，才能调整。
时间复杂度
因为堆是一棵完全二叉树，而满二叉树又是一种特殊的完全二叉树，为了简化计算，我们不妨假设此处的堆是一棵满二叉树。
由上图得，对于高度为h的满二叉树构成的堆，最多进行向上调整的次数设为，有：
综上，证得向上调整建堆的时间复杂度为O(N)。
四.堆的应用
4.1.堆排序
堆排序也就是利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
- 建堆（升序建大堆，降序建小堆）；
- 利用堆删除思想来进行排序 。
注意：
升序也可以建小堆，只是每次都要通过建堆的方式选出最小的元素。当进行第一次建堆选出最小的元素并放在数组起始位置时，剩余的元素关系就会发生错乱：原本的左孩子结点会变成新的根结点，右孩子结点会变成新的左孩子结点。然后将剩下的元素继续进行建堆，选出剩余元素中最小的元素并放入数组起始位置的下一个位置，重复上述操作，直到整个数组有序。整体时间复杂度为O(N^2)，可见效率太低，没有使用到堆的优势。因此，升序要建大堆。
我们以升序建大堆为例：
步骤一：建堆
这里采用时间复杂度较低的向下建堆法来进行大根堆的建立。
实现：
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//1.选出左右孩子中小的那一个
int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
while (child < size)
{
//当右孩子存在且右孩子小于左孩子
if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])//大堆：a[child+1]>a[child]
{
++child;//则将右孩子置为child
}
//2.小的孩子跟父亲比较，如果比父亲小，则交换，然后继续往下调整；如果比父亲大，则调整结束
if (a[child] > a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]
{
//交换数据
Swap(&a[child], &a[parent]);
//3.继续往下调，最多调整到叶子结点就结束
//把孩子的下标赋值给父亲
parent = child;
//假设左孩子最小
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
//建堆方式二：向下调整
//向下调整算法的左右子树必须是堆，因此不能使用该方法直接建堆
//时间复杂度：O(N)
//首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好，然后从倒数第一个非叶子结点开始，依次向下调整
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标，求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2
{
AdjustDown(a, n, i);
}
}
int main()
{
int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
return 0;
}调试分析：
建堆前：
建堆后：
步骤二：排序
这里用到堆的删除思想。先交换数组的首尾元素，此时尾结点中的元素为堆中的最大值。然后将堆的最后一个元素排除在外，并继续从根结点开始，对堆进行向下调整。重复上述操作，直到堆中仅剩一个元素为止。
实现：
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//1.选出左右孩子中小的那一个
int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
while (child < size)
{
//当右孩子存在且右孩子小于左孩子
if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])//大堆：a[child+1]>a[child]
{
++child;//则将右孩子置为child
}
//2.小的孩子跟父亲比较，如果比父亲小，则交换，然后继续往下调整；如果比父亲大，则调整结束
if (a[child] > a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]
{
//交换数据
Swap(&a[child], &a[parent]);
//3.继续往下调，最多调整到叶子结点就结束
//把孩子的下标赋值给父亲
parent = child;
//假设左孩子最小
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
//建堆方式二：向下调整
//向下调整算法的左右子树必须是堆，因此不能使用该方法直接建堆
//时间复杂度：O(N)
//首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好，然后从倒数第一个非叶子结点开始，依次向下调整
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标，求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2
{
AdjustDown(a, n, i);
}
//排序
//时间复杂度：O(N*logN)，其中N为元素个数，logN为向上调整的次数，也即树的高度
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
//将第一个结点与最后一个结点交换
Swap(&a[0], &a[end]);
//向下调整选出次大的数
AdjustDown(a, end, 0);
--end;
}
}
int main()
{
int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
return 0;
}调试分析：
排序前：
排序后：
小结：
建堆和堆的删除都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成排序。
建堆的时间复杂度为：O(N)，排序的时间复杂度为：O(N*logN)。取影响结果较大的一个，也就是O(N*logN)。所以堆排序的时间复杂度为O(N*logN)。
4.2.TOP-K问题
TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
对于TOP-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。
法一：
堆排序，采用时间复杂度最低的堆排序，时间复杂度为O(N*logN)；
法二：
首先建立N个数的大根堆，然后Top/Pop k次，时间复杂度为O(N+k*logN)；
注意：上述两种方法在数据量非常大时，是不太可取的。
法三：
假设N非常大，比如N是100亿，而K比较小，假如k是100，如何求解？
首先，将数据集合中前k个数建立小根堆，时间复杂度：O(k)；
然后，将剩下的N-k个元素依次和堆顶元素进行比较，如果比堆顶元素大，就替换堆顶元素，并进行向下调整；
待N-k个元素依次和堆顶元素比较完之后，堆中剩余的k个元素就是所求的最大的前k个元素，时间复杂度：O((N-k)*logk)。
注意：法三较于前两种方法有很高的空间效率。
实现：
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//1.选出左右孩子中小的那一个
int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
while (child < size)
{
//当右孩子存在且右孩子小于左孩子
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])//大堆：a[child+1]>a[child]
{
++child;//则将右孩子置为child
}
//2.小的孩子跟父亲比较，如果比父亲小，则交换，然后继续往下调整；如果比父亲大，则调整结束
if (a[child] < a[parent])//大堆：a[child]>a[parent]
{
//交换数据
Swap(&a[child], &a[parent]);
//3.继续往下调，最多调整到叶子结点就结束
//把孩子的下标赋值给父亲
parent = child;
//假设左孩子最小
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
//1.建堆：用a中前k个元素建堆
int* kMinHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
assert(kMinHeap);
for (int i = 0; i < k; i++)
{
//将a中前k的元素放进kMinHeap中
kMinHeap[i] = a[i];
}
//建立小根堆
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
{
AdjustDown(kMinHeap, k, i);
}
//2.将剩余的n-k个元素依次与堆顶元素比较，不满则替换
for (int j = k; j < n; j++)
{
//若后面的元素大于堆顶元素，则进行替换，并向下调整
if (a[j] > kMinHeap[0])
{
kMinHeap[0] = a[j];
AdjustDown(kMinHeap, k, 0);
}
}
//3.打印最大的前k个元素
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", kMinHeap[i]);
}
printf("\n");
//销毁
free(kMinHeap);
}
void TestTopk()
{
int n = 10000;
int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
assert(a);
srand((size_t)time(0));
for (int i = 0; i < n; i++)
{
//产生一万个不大于100万的随机数
a[i] = rand() % 1000000;
}
a[5] = 1000000 + 1;
a[1231] = 1000000 + 2;
a[531] = 1000000 + 3;
a[5121] = 1000000 + 4;
a[115] = 1000000 + 5;
a[2335] = 1000000 + 6;
a[9999] = 1000000 + 7;
a[76] = 1000000 + 8;
a[423] = 1000000 + 9;
a[3144] = 1000000 + 10;
PrintTopK(a, n, 10);
}
int main()
{
TestTopk();
return 0;
}运行结果：
