数据结构——AVL树

一.AVL树的定义

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

具有以上性质的树被称为AVL树。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

AVL树节点的定义：

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	ALVTreeNode<K,V>* _left;
	AVLTreeNode<K,V>* _right;
	AVLTreeNode<K,V>* _parent;//父亲节点

	pair<K, V> _kv;

	//构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}

	int _bf;//平衡因子
};

AVL树的定义：

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:

private:
	Node* _root=nullptr;
};

二.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.second)
		{
			//当前值小于要插入的值，往右边走
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.second)
		{
			//当前值大于要插入的值，往左边走
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//有相同的值了，退出插入
			return false;
		}
	}
	//当cur走到了nullptr，就是找到了要插入的点了
	cur = new Node(kv);
	//判断插入在左边还是右边
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;//确定父子关系
	
	//…………
	//更新插入后的平衡因子
	//…………
}

三.插入后更新平衡因子

新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

更新平衡因子的规则：

1. 新增在右边，则会让父平衡因子++，新增在左边，父平衡因子--
2. 更新后，如果 parent->bf == 0，说明 parent 插入前的平衡因子是 1 or -1，插入填上了矮的一边，parent 的子树高度不变，不需要继续往上更新。
3. 更新后，如果parent->bf为 1 或 -1， 说明parent插入前的平衡因子是0，说明左右子树高度相等，插入后有一边高，parnet 高度变了，需要继续往上更新。
4. 更新后，如果 parent->bf == 2 或-2，说明parent插入前的平衡因子是 1 or -1，已经到达平衡临界值，parent 子树进行旋转处理将树保持平衡。
5. 更新后，如果 parent->bf >2 或 <-2 ，则说明插入前树已经失去的平衡，要进行代码的检查。

while (parent)
{
	//更新平衡因子
	if (cur == parent->_left)
	{
		parent->_bf--;
	}
	else
	{
		parent->_bf++;
	}

	if (parent->_bf == 0)
	{
		//没有新增高度
		break;
	}
	else if(abs(parent->_bf)==1)
	{
		//平衡因子为1，往上面继续找
		parent = parent->_parent;
		cur = cur->_parent;
	}
	else if (abs(parent->_bf) == 2)
	{
		//需要旋转了
	}
}

四.AVL树的旋转

1.左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

1. 将subR作为一个根节点
2. 将subRL作为parent的右节点(如果subRL存在的话)
3. parent作为subR的左节点。

左旋的条件是

parent->_bf==2&&cur->_bf==1

旋转之后parent的平衡因子为0，subL的平衡因子也是0。

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* pparent = parent->_parent;

	parent->_right = subRL;

	if (subRL)
	{
		subRL->_parent = subR;
	}

	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pparent->_left == parent)
		{
			pparent->_left = subR;
		}
		else
		{
			pparent->_right = subR;;
		}
		subR->_parent = pparent;
	}
	subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.右单旋

新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

1. 将subL作为一个根节点
2. 将subLR作为parent的左节点(如果subLR存在的话)
3. parent作为subL的右子节点。

右旋的条件是

parent->_bf==-2&&cur->_bf==-1

旋转之后parent的平衡因子为0，subL的平衡因子也是0。

3.先左单旋再右单旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
如果将节点插入到c当中，平衡因子就会发生改变，所以这里的平衡因子需要分情况讨论。
这里通过subLR的平衡因子来确定是在左边插入还是在右边插入。
两种情况下subLR都是0。

void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL-> _right;
	
	int bf = subLR->_bf;//提前存好，旋转后会subLR会发生改变
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);

	subLR->_bf = 0;
	
	if (bf == 1)
	{
		//在右边插入
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		subL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		//已经平衡了
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
	}
	else
	{
		//插入存在问题
		assert(false);
	}
}

4.先右单旋再左单旋

新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
C增加节点之后高度和d一样都是h，将其全部旋转到右边去，然后再通过左旋把30压下去，将60作为根节点。
与左右单旋一样，插入的b还是c需要分别更新平衡因子

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	subRL->_bf = 0;

	if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

五.AVL树的性能分析

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

六.检查是否满足AVL树

通过计算左右子树的高度差来确定是否满足AVL树，因为平衡因子是自己设置的，如果还通过平衡因子来确定的话会不太准。

bool _IsBalance(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return true;
	}

	int leftHT = Height(root->_left);
	int rightHT = Height(root->_right);
	int diff = rightHT - leftHT;

	if (diff != root->_bf)
	{
		cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}

	return abs(diff) < 2
		&& _IsBalance(root->_left)//递归左子树
		&& _IsBalance(root->_right);//递归右子树
}

int Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;

	int left = Height(root->_left);
	int right = Height(root->_right);

	return max(left, right) + 1;
}

七.源码

namespace dianxia
{
	//树的节点
	template<class K, class V>
	struct AVLTreeNode
	{
		AVLTreeNode<K, V>* _left;
		AVLTreeNode<K, V>* _right;
		AVLTreeNode<K, V>* _parent;
		pair<K, V> _kv;
		int _bf; // 平衡因子

		AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
			:_left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _parent(nullptr)
			, _kv(kv)
			, _bf(0)
		{}
	};

	template<class K, class V>
	class AVLTree
	{
		typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	public:
		bool Insert(const pair<K, V>& kv)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(kv);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_kv.first < kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_kv.first > kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}

			cur = new Node(kv);
			if (parent->_kv.first > kv.first)
			{
				parent->_left = cur;
			}
			else
			{
				parent->_right = cur;
			}
			cur->_parent = parent;

			// 更新平衡因子
			while (parent)
			{
				if (cur == parent->_right)
				{
					parent->_bf++;
				}
				else
				{
					parent->_bf--;
				}

				if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					// 继续更新祖先
					parent = parent->_parent;
					cur = cur->_parent;
				}
				else if (parent->_bf == 0)
				{
					break;
				}
				else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{
					// 需要旋转处理 -- 1、让这颗子树平衡 2、降低这颗子树的高度					
					//左单旋
					if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
					{
						RotateL(parent);
					}
					//右单旋
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
					{
						RotateR(parent);
					}
					//左右双旋
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
					{
						RotateLR(parent);
					}
					//右左双旋
					else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
					{
						RotateRL(parent);
					}
					else
					{
						assert(false);
					}

					break;
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
			}

			return true;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

		bool IsBalance()
		{
			return _IsBalance(_root);
		}

		int Height()
		{
			return _Height(_root);
		}

	private:
		int _Height(Node* root)
		{
			if (root == NULL)
				return 0;

			int leftH = _Height(root->_left);
			int rightH = _Height(root->_right);

			return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
		}

		bool _IsBalance(Node* root)
		{
			if (root == NULL)
			{
				return true;
			}

			int leftH = _Height(root->_left);
			int rightH = _Height(root->_right);

			if (rightH - leftH != root->_bf)
			{
				cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
				return false;
			}

			return abs(leftH - rightH) < 2
				&& _IsBalance(root->_left)
				&& _IsBalance(root->_right);
		}

		void RotateL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;

			parent->_right = subRL;
			if (subRL)
				subRL->_parent = parent;

			Node* ppnode = parent->_parent;

			subR->_left = parent;
			parent->_parent = subR;

			if (ppnode == nullptr)
			{
				_root = subR;
				_root->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (ppnode->_left == parent)
				{
					ppnode->_left = subR;
				}
				else
				{
					ppnode->_right = subR;
				}

				subR->_parent = ppnode;
			}

			parent->_bf = subR->_bf = 0;
		}

		void RotateR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;

			parent->_left = subLR;
			if (subLR)
				subLR->_parent = parent;

			Node* ppnode = parent->_parent;

			subL->_right = parent;
			parent->_parent = subL;

			if (parent == _root)
			{
				_root = subL;
				_root->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (ppnode->_left == parent)
				{
					ppnode->_left = subL;
				}
				else
				{
					ppnode->_right = subL;
				}
				subL->_parent = ppnode;
			}

			subL->_bf = parent->_bf = 0;
		}

		void RotateLR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;
			int bf = subLR->_bf;

			RotateL(parent->_left);
			RotateR(parent);

			if (bf == 1)
			{
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
				subL->_bf = -1;
			}
			else if (bf == -1)
			{
				parent->_bf = 1;
				subLR->_bf = 0;
				subL->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 0)
			{
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
				subL->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

		void RotateRL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;
			int bf = subRL->_bf;

			RotateR(parent->_right);
			RotateL(parent);

			if (bf == 1)
			{
				subR->_bf = 0;
				parent->_bf = -1;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if (bf == -1)
			{
				subR->_bf = 1;
				parent->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 0)
			{
				subR->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_kv.first << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

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本文到此结束，码文不易，还请多多支持哦！！！