理解区分全微分、导数、偏导数等

重点理解多元函数下的基础概念

假设原函数为$F(x,y)=x^2+y^2+2xy=0$

1. 理解偏微分与全微分

微分，是取连续值当中的极小增量部分，Δx，则表示为dx或əx

1.1 一元函数的微分

• 假设y是x的显函数，例如y =F(x)= 2x+1，那么y的微分，则是由于x的微分而改变

  y与x的导数为$2$，那么当x增加或减少的Δx时，y的增量Δy = 2*Δx

  当Δx趋近于0，或是取一个非常非常小的值时，我们就将Δx等同于dx

  则dy = 导数*dx，导数就像是一个变化率，如果你迈出一小步（dx)，那么经过导数的作用，y会迈出属于它的那一步dy，而导数越大，dy也就越大

• 假设y和x是隐函数，例如2x+xy+lny=0，则求微分，实际求的就是dy

  根据微分的定义：dy = 导数*dx，只要求出y对x的导数，即可表示出dy。
  可以设F(x,y)=2x+xy+lny=0，而x和y的函数关系可假设为y = y(x)
  因此可以对隐函数两侧对x进行求导$F^{\prime }(x,y(x))=F_x^{\prime }+F_y^{\prime }\ast y_x^{\prime }=0$
  则可以得到y对x的导数：$y_x^{\prime }=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$ 这个式子也叫隐函数求导法则
  因此$dy=y_x^{\prime }dx=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}dx$

  • $F_x^{\prime }=\frac{əF}{əx}$,$F_y^{\prime }=\frac{əF}{əy}$，但一般不拆开来算，只需用$y_x^{\prime }$表示即可

1.2 多元函数的全微分

• 假设z = F(x,y)是一个多元显函数，例如 z = xy+3x^2 +lny，求全微分就是求dz
  x的偏导数为$\frac{əz}{əx}$
  y的偏导数为$\frac{əz}{əy}$
  这里涉及导偏微分和偏导数的关系，后边再展开讲讲
  则z的增量,则是由x和y方向上的同时增量加和而成，
  Δz = x偏导数Δx+y偏导数Δy
  当此时的Δ如果非常小，就表示为微分d
  dz = x偏导数dx + y偏导数dy
  这就是全微分方程 dz = x偏导数dx + y偏导数dy

  解释一下，偏导数和偏微分的关系，重点是要理解偏微分
  其实，偏微分，就是əx，əy
  x的偏微分əx，表示的是x方向上的增量Δx，趋近于很小很小的时候写为əx，实际之前讲的dx，有异曲同工之妙，但意义上相似
  只由x方向的增量Δx，影响到z的改变Δz，则Δz = x偏导数*Δx，

  • 那么$x的偏导数=\frac{\Delta z}{\Delta x}=\frac{əz}{əx}$，注意：这里的Δz是在不改变y，只改变x的情况下产生的z增量
  • 同理可得$y的偏导数=\frac{\Delta z}{\Delta y}=\frac{əz}{əy}$，注意：这里是在不改变x，只改变y的情况下…
  • 那么最终带入全微分方程： $dz=x偏导数\ast dx+y偏导数\ast dy=\frac{əz}{əx}dx+\frac{əz}{əy}dy$
  • 要知道的是$\frac{əz}{əx}$里的əz，与$\frac{əz}{əy}$里的əz是不同的！！！！
  • 因此，尽量不要让$\frac{əz}{əx}$拆开来计算，əz的值不是一个用来量化计算的值，它是一个表示符号，只有当它与具体的变量组合成例如$\frac{əz}{əx}$，才表示了一个明确的可量化含义：偏导数
  • 实际我们只要表示为$dz=F_x^{\prime }dx+F_y^{\prime }dy$即可

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• 假设z和y和x是多元隐函数，例如 zxy+2x+xy+3lny=0 ，z是由x与y共同确定的，相当于z是因变量，x和y是两个自变量，那么函数可以写为F(x,y,z)=zxy+2x+xy+3lny=0

  • 此时求全微分，是对因变量求的全微分，即dz
  • $dz=z对x的偏导数\ast dx+d对y的偏导数\ast dy$
  • 重点在于隐函数的偏导数公式：
    • 可知$z对x的偏导数z_x^{\prime }=\frac{əz}{əx}=-\frac{F_z^{\prime }}{F_x^{\prime }},.z对y的偏导数z_y^{\prime }=\frac{əz}{əy}=-\frac{F_z^{\prime }}{F_y^{\prime }}$
    • $F_z^{\prime }：原函数F对z求偏导$
    • $F_x^{\prime }：原函数F对x求偏导$
    • $F_y^{\prime }：原函数F对y求偏导$
  • 最终$dz=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}dx-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}dy$

2. 明确导数、偏导数、梯度

导数，一般指的是一元函数的导数
偏导数，一般指的是多元函数的求导

全导数，一般不是指多元函数的偏导数加和，而是对某个元素的复合函数的求导

注意：全导数和全微分的维度是完全不一样的：
全导数：本质上是只对一个元素（一个变量）进行求导
全微分：本质上是对多个元素（多个变量）的微分增量加和

因此，所谓的全导数，实际是对一个元素的求导，但由于涉及了复合函数，因此可应用链式求导法则

2.1 多元显式函数的求导

例如f(x,y) = xy+x²+y²

• $f_x^{\prime }=y+2x$
• $f_y^{\prime }=x+2y$
• 虽然是多元函数，但不涉及复合函数，因此谈不上全导数

2.2 多元隐式函数的求导

例如f(x,y,z) = xy+x²z+y²+lnz

• 对原函数求偏导
  • $f_x^{\prime }=y+2xz$
  • $f_y^{\prime }=x+2y$
  • $f_z^{\prime }=z+\frac{1}{z}$
• z对x,y求偏导
  • $\frac{z}{x}=-\frac{f_x^{\prime }}{f_z^{\prime }}$,这是根据隐函数求导法则来的，只需要将上边的$f_x^{\prime }$和$f_z^{\prime }$代入
  • $\frac{z}{y}=-\frac{f_y^{\prime }}{f_z^{\prime }}$,这是根据隐函数求导法则来的，只需要将上边的$f_y^{\prime }$和$f_z^{\prime }$代入计算
• 虽然是多元函数，但不涉及复合函数，因此谈不上全导数

2.3 复合显示函数的求导

例如$z=f(\mu (x,y),v(x,y)),\mu (x,y)=x^2+y^2,v(x,y)=x+xy$
求导数，实际也是z对x求导，或z对y求导

• $\frac{dz}{dx}=\frac{əz}{ə\mu }\ast \frac{ə\mu }{əx}+\frac{əz}{əv}\ast \frac{əv}{əx}$
• $\frac{dz}{dy}=\frac{əz}{ə\mu }\ast \frac{ə\mu }{əy}+\frac{əz}{əv}\ast \frac{əv}{əy}$
• 遵循链式求导法则【都是全导数】

而梯度，是由多个元素的偏导组成的，不是多个元素的偏导加和
例如上式中，梯度就是$grad=(\frac{dz}{dx},\frac{dz}{dy})$

而全微分 = sum(梯度*各元素微分)，全微分是对所有方向（即所有元素的微分增量加和）