abc214 D - Sum of Maximum Weights

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abc214 D - Sum of Maximum Weights rating : 1341

题目描述

We have a tree with $N$ vertices numbered $1,2,\dots ,N$.

The i-th edge ($1\le i\le N-1$) connects Vertex $u_i$ and Vertex $v_i$​ and has a weight $w_i$ .

For different vertices $u$ and $v$, let $f(u,v)$ be the greatest weight of an edge contained in the shortest path from Vertex $u$ to Vertex $v$.

Find ${\sum }_{i=1}^{N-1}{\sum }_{j=i+1}^{N}f(i,j)$

Constraints

• $2\le N\le 10^5$

• $1\le u_i,v_i\le N$

• $1\le w_i\le 10^7$

• The given graph is a tree.

• All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
u1 v1 w1
​⋮
uN−1 vN−1 wN−1

​

Output

Print the answer.

Sample Input 1

3
1 2 10
2 3 20

Sample Output 1

50

We have $f(1,2)=10$, $f(2,3)=20$, and $f(1,3)=20$, so we should print their sum, or $50$.

Sample Input 2

5
1 2 1
2 3 2
4 2 5
3 5 14

Sample Output 2

76

解法：并查集

题目的大致意思是：给你一颗树，树中每两个相邻节点 $u$ 和 $v$ 之间的权重是 $w$，并且定义了一种操作 $f(i,j)$ 表示节点 $i$ 到 节点 $j$ 的最短路径上的最大的那个权重值。

我们要做的就是求出所有这样的 $f(i,j)$ 的总和。

对于本题，我们使用并查集求解。

我们首先对输入 $\{u,v,w\}$ 按照权重 $w$ 从小到大的排序。

我们从小的权重值 $w$ 开始枚举，计算以 $w$ 为最大权重值的路径的条数 $t$。这个条数 $t=$ $u$ 所在的连通块元素个数 $\times$ $v$ 所在的连通块元素个数。

我们用一个 $sz$ 数组来记录每个连通块的元素个数。

对于 $u$ 和 $v$，他们的父节点分别是 $find(u),find(v)$，我们令其为 $x,y$。

• 如果此时 $x=y$，说明 $u$ 和 $v$ 此时就已经在同一个连通块内了，我们就不用计算了。

• 如果此时 $x\ne y$，那么我们就要将 $x$ 和 $y$ 这两个连通块 通过 $\{u,v,w\}$ 这条边连接起来。那么此时 $t=sz[x]\times sz[y]$，所以这条边的贡献就为 $t\times w=sz[x]\times sz[y]\times w$。接着合并这两个连通块，$f[x]=y,sz[y]=sz[y]+sz[x]$，这一步操作相当于将 $x$ 所代表的连通块作为一个新节点插入到了 以 $y$ 代表的连通块中。

时间复杂度： $O(n\times logn)$

C++代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

using LL = long long;

const int N = 1e5 + 10;
int f[N],sz[N];

int n;

int find(int x){
    if(f[x] != x) {
        return f[x] = find(f[x]);
    }
    else return x;
}

void merge(int x,int y){
    int px = find(x) , py = find(y);
    if(px == py) return;
    f[px] = py;
    sz[py] += sz[px];
}

void solve(){
    cin>>n;
    for(int i = 0;i < n;i++) {
        f[i] = i;
        sz[i] = 1;
    }



    vector<tuple<int,int,int>> a;

    for(int i = 0;i < n - 1;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        --u , --v;
        a.emplace_back(w,u,v);
    }

    sort(a.begin(),a.end());

    LL ans = 0;

    for(auto &[w,u,v]:a){
        int x = find(u) , y = find(v);
        ans += w * 1LL * sz[x] * sz[y]; //将乘积转成 long long 防止溢出
        merge(u,v);
    }

    cout<<ans<<'\n';
}

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("in.txt","rt",stdin);
    freopen("out.txt","wt",stdout);

#endif


    int t = 1;
    //cin>>t;

    while(t--){
        solve();
    }

    return 0;
}