13 | 二分查找(上):如何用最省内存的方式实现快速查找功能?

一、什么是二分查找?

      二分查找针对的是一个数据集合,每次通过跟元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间缩小为0。
      二分查找是一种非常简单易懂的快速查找算法,生活中到处可见。比如说,我们现在来做一个猜字游戏。我随机写一个 0 到 99 之间的数字,然后你来猜我写的是什么。猜的过程中,你每猜一次,我就会告诉你猜的大了还是小了,直到猜中为止。你来想想,如何快速猜中我写的数字呢?
      假设我写的数字是 23,你可以按照下面的步骤来试一试。(如果猜测范围的数字有偶数个,中间数有两个,就选择较小的那个。)7 次就猜出来了,是不是很快?这个例子用的就是二分思想,按照这个思想,即便我让你猜的是 0 到 999 的数字,最多也只要 10 次就能猜中。不信的话,你可以试一试。


      假设只有 10 个订单,订单金额分别是:8,11,19,23,27,33,45,55,67,98。还是利用二分思想,每次都与区间的中间数据比对大小,缩小查找区间的范围。为了更加直观,我画了一张查找过程的图。其中,low 和 high 表示待查找区间的下标,mid 表示待查找区间的中间元素下标。

二、时间复杂度分析?

1.时间复杂度

      假设数据大小是n,每次查找后数据都会缩小为原来的一半,最坏的情况下,直到查找区间被缩小为空,才停止。所以,每次查找的数据大小是:n,n/2,n/4,…,n/(2^k), …,这是一个等比数列。当n/(2^k) =1时,k的值就是总共缩小的次数,也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较,所以,经过k次区间缩小操作,时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1,可求得k=log2n,所以时间复杂度是O(logn)。

2.认识O(logn)

①这是一种极其高效的时间复杂度,有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么?
②因为logn是一个非常“恐怖“的数量级,即便n非常大,对应的logn也很小。比如n等于2的32次方,也就是42亿,而logn才32。
③由此可见,O(logn)有时就是比O(1000),O(10000)快很多。


三、如何实现二分查找?

最简单的情况就是中不存在,我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。

1.循环实现

代码实现:

function bsearch(arr, value){
    let len = arr.length
    if(len <= 1) retrun

    let low = 0;
    let high = len - 1;

    while(low <= high){
        let mid = Math.floor((low + high) / 2)
        if(arr[mid] == value){
            return mid;
        } else if(arr[mid] < value){
            low = mid + 1;
        } else if(arr[mid] > value){
            high = mid - 1
        }
    }

    return -1;
}

console.log(bsearch([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],10))

注意事项:

①循环退出条件是:start<=end,而不是start ②mid的取值,使用mid=start + (end - start) / 2,而不用mid=(start + end)/2,因为如果start和end比较大的话,求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致,可以将除以2转换成位运算,即start + ((end - start) >> 1),因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。
③start和end的更新:start = mid - 1,end = mid + 1,若直接写成start = mid,end=mid,就可能会发生死循环。
2.递归实现

function binarySearch(arr, value){
    return bsearch(arr, value, 0, arr.length -1)
}

function bsearch(arr, value, start, end){
    if(start > end) return  -1;
    let mid = Math.floor((end + (end - start)) / 2)
    if(arr[mid] === value){
        return mid;
    } else if(value > arr[mid]){
        start = mid + 1
    } else {
        end = mid - 1
    }
    return bsearch(arr, value, start, end)
}

console.log(binarySearch([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],10))

四、使用条件(应用场景的局限性)

1.二分查找依赖的是顺序表结构,即数组。
2.二分查找针对的是有序数据,因此只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。
3.数据量太小不适合二分查找,与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外,就是数据之间的比较操作非常费时,比如数组中存储的都是长度超过300的字符串,那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
4.数据量太大也不是适合用二分查找,因为数组需要连续的空间,若数据量太大,往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
五、思考
1.如何在1000万个整数中快速查找某个整数?
①1000万个整数占用存储空间为40MB,占用空间不大,所以可以全部加载到内存中进行处理;
②用一个1000万个元素的数组存储,然后使用快排进行升序排序,时间复杂度为O(nlogn)
③在有序数组中使用二分查找算法进行查找,时间复杂度为O(logn)
2.如何编程实现“求一个数的平方根”?要求精确到小数点后6位?

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