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矩阵的相似对角化

矩阵相似的定义

设 A与B都是N阶方阵，若是\exists一个可逆的N阶矩阵P，使得P^{-1}AP=B，则称A与B相似，记作A\sim B，P成为由A到B的相似变换矩阵

相似矩阵的性质

1、A\sim A \because E^{-1}AE=A

矩阵A与它自身相似

2、若A\sim B，则B\sim A

如果A与B相似，那么B与A也相似

证明：\because A\sim B

\therefore P^{-1}AP=B\rightarrow PBP^{-1}=A

所以P^{-1}为B到A的相似变换矩阵

3、若A\sim B,B\sim C，则A\sim C

相似具有传递性

证明：\because A\sim B,B\sim C

\therefore P^{-1}AP=B , Q^{-1}BQ=C

将A代换B

Q^{-1}P^{-1}APQ=C\rightarrow (PQ)^{-1}A(PQ)=C

其中PQ为A到C的相似变换矩阵

4、若A\sim B，则A\cong B

如果A和B相似，那么A与B等价

因为等价的定义是 PAQ=B，存在P、Q使得A经过有限次的初等变换，成为B，那么称A与B等价

所以上述明显成立

也意味着，A和B两个矩阵的秩是一样的

5、若A\sim B，则\left | A-\lambda E \right |=\left | B-\lambda E \right |，意味着如果两个矩阵相似，那么他们的特征值相同，因为特征值相同，所以两个矩阵的迹+行列式都相同

证明：\because A\sim B

 \therefore P^{-1}AP=B\rightarrow \left | A-\lambda E \right |\rightarrow \left | P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P \right | \rightarrow \left | P^{-1}(A-\lambda E) P \right |\rightarrow \left | P^{-1} \right |\left | P \right |\left | (A-\lambda E) \right |\rightarrow 1*\left | (A-\lambda E) \right |

6、 若A\sim B，A^{-1}\sim B^{-1}

如果A、B相似，那么A的逆和B的逆也相似

证明：P^{-1}AP=B\rightarrow A=PBP^{-1}\rightarrow A^{-1}=PB^{-1}P^{-1}\rightarrow P^{-1}A^{-1}P=B^{-1}

所以，A^{-1}\sim B^{-1}

7、 若A\sim B，A^{*}\sim B^{*}

如果A、B相似，那么A的伴随矩阵和B的伴随矩阵也相似

证明：\left | A \right |A^{-1}=A^{*}

因为A、B相似，那么A、B的行列式相同

由6可知，A的逆与B的逆也相似

P^{-1}\left | A \right |A^{-1}P=\left | A \right |B^{-1}=\left | B \right |B^{-1}

P^{-1}A^{*}P=B^{*}

所以A的伴随跟B的伴随也相似

8、  若A\sim B ，kA\sim kB

如果A、B相似，那么kA与kB也相似

证明：这个很简单

A\sim B\rightarrow P^{-1}AP=B\rightarrow P^{-1}(kA)P=(kB)

9、 若A\sim B ，A^{k}\sim B^{k}

如何A、B相似，那么A的k次方与B的k次方也相似

证明：

P^{-1}AP=B

B^{k}=(P^{-1}AP)^{k}=\underset{k}{\underbrace{P^{-1}APP^{-1}AP...P^{-1}AP}}=P^{-1}A^{k}P

\therefore P^{-1}A^{k}P=B^{k}

10、 若A\sim B ，f(A)\sim f(B)，其中f(x)为多项式

如果A矩阵与B矩阵相似，那么A矩阵的多项式与B矩阵的多项式也相似

证明：

设f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}....+a_{2}x^{2}+a_{1}x

根据8+9的性质，就能证明该性质

11、 若A\sim B ，A^{T}\sim B^{T}

如果A、B相似，那么A的转置和B的转置也相似

证明：

P^{-1}AP=B

B^{T}=P^{T}A(P^{T})^{-1}

A=PBP^{-1}\rightarrow A^{T}=\rightarrow (P^{T})^{-1}P^{-1}APP^{T}

PP^{T} A^{T}(P^{T})^{-1}P^{-1}=\rightarrow A

将之代入到B^{T}=P^{T}A(P^{T})^{-1}

 B^{T}=P^{T}PP^{T} A^{T}(P^{T})^{-1}P^{-1}(P^{T})^{-1}

P^{T}PP^{T} A^{T}(P^{T}PP^{T})^{-1}=B^{T}\rightarrow ((P^{T}PP^{T})^{-1})^{-1}A^{T}(P^{T}PP^{T})^{-1}=B^{T}

矩阵的相似对角化定义

其实就是P^{-1}AP=B中的B为对角矩阵（diag），或者称之为\Lambda，如果不存在矩阵P使得A可以变成对角矩阵，那么就称A不能相似对角化

两个问题，什么样的A可以相似对角化？A如果可以相似对角化，那么\Lambda是多少？

设P^{-1}AP=\Lambda

其中\Lambda = \begin{vmatrix} \lambda _{1}& & & \\ & \lambda _{2}& & \\ & & ...& \\ & & & \lambda _{n} \end{vmatrix}

设P=\begin{vmatrix} \alpha _{1} & \alpha _{2} & ...& \alpha _{n} \end{vmatrix}，其中\alpha _{1},\alpha _{2}...\alpha _{n}为n维的列向量

代入等式

P^{-1}AP=\Lambda\rightarrow AP=P\Lambda

A\begin{vmatrix} \alpha _{1} & \alpha _{2} & ...& \alpha _{n} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \alpha _{1} & \alpha _{2} & ...& \alpha _{n} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \lambda _{1}& & & \\ & \lambda _{2}& & \\ & & ...& \\ & & & \lambda _{n} \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} A\alpha _{1} & A\alpha _{2} & ...& A\alpha _{n} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \alpha _{1}\lambda _{1} & \alpha _{2}\lambda _{2} & ...& \alpha _{n}\lambda _{n} \end{vmatrix}

\therefore A\alpha _{1}=\alpha _{1}\lambda _{1}

A\alpha _{2}=\alpha _{2}\lambda _{2}

...

A\alpha _{n}=\alpha _{n}\lambda _{n}

这不就是特征值和特征向量么

如果两个矩阵相似，那么他们的特征值相同，所以如果A可以相似对角化，\Lambda里的值就是特征值（见5的证明），P是特征值对应的特征向量，并且P需要可逆

P如果可逆的话，那么P满秩，秩为N，那么\alpha _{1},\alpha _{2}...\alpha _{n}线性无关

意味着A如果正好能找到N个线性无关的特征向量，那么A就能相似对角化

而A里可能有很多特征值是相同的

意味着，我们只需要查找A的多重特征值里，恰好有对应数的线性无关的特征向量的话，那么A就能相似对角化

推论：如果A的特征值各不相同，那么A一定可以对角化

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    这道题的具体思路请参看 何海涛的微博：http://weibo.com/zhedahht import java.math.BigInteger; import java.util.Arrays; public class CreateBFromATencent { /** * 题目：输入一个数组A[1,2,...n]，求输入B，使得数组B中的第i个数字B[i]=A
  • FastDFS 的安装和配置 修订版 Chen.H linuxfastDFS分布式文件系统
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  • [强人工智能]拓扑扫描与自适应构造器 comsci 人工智能
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    Oracle中merge into的使用 http://blog.csdn.net/yuzhic/article/details/1896878 http://blog.csdn.net/macle2010/article/details/5980965 该命令使用一条语句从一个或者多个数据源中完成对表的更新和插入数据. ORACLE 9i 中，使用此命令必须同时指定UPDATE 和INSE
  • 不适合使用Hadoop的场景 datamachine hadoop
    转自：http://dev.yesky.com/296/35381296.shtml。 　　Hadoop通常被认定是能够帮助你解决所有问题的唯一方案。 当人们提到“大数据”或是“数据分析”等相关问题的时候，会听到脱口而出的回答：Hadoop!  实际上Hadoop被设计和建造出来，是用来解决一系列特定问题的。对某些问题来说，Hadoop至多算是一个不好的选择，对另一些问题来说，选择Ha
  • YII findAll的用法 dcj3sjt126com yii
    看文档比较糊涂，其实挺简单的： $predictions=Prediction::model()->findAll("uid=:uid",array(":uid"=>10));   第一个参数是选择条件：”uid=10″。其中:uid是一个占位符，在后面的array(“:uid”=>10)对齐进行了赋值； 更完善的查询需要
  • vim 常用 NERDTree 快捷键 dcj3sjt126com vim
    下面给大家整理了一些vim NERDTree的常用快捷键了，这里几乎包括了所有的快捷键了，希望文章对各位会带来帮助。 切换工作台和目录 ctrl + w + h 光标 focus 左侧树形目录ctrl + w + l 光标 focus 右侧文件显示窗口ctrl + w + w 光标自动在左右侧窗口切换ctrl + w + r 移动当前窗口的布局位置 o 在已有窗口中打开文件、目录或书签，并跳
  • Java把目录下的文件打印出来 蕃薯耀 列出目录下的文件文件夹下面的文件目录下的文件
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    windows远程桌面到linux，需要在linux上安装vncserver，并开启vnc服务，同时需要在windows下使用vnc-viewer访问Linux。vncserver同时支持linux远程桌面到linux。   linux远程桌面到windows，需要在linux上安装rdesktop，同时开启windows的远程桌面访问。   下面分别介绍，以windo
  • guava中的join和split功能 jackyrong java
    guava库中，包含了很好的join和split的功能，例子如下： 1） 将LIST转换为使用字符串连接的字符串    List<String> names = Lists.newArrayList("John", "Jane", "Adam", "Tom");
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    回顾web开发技术这十年发展历程： Ajax 03年的时候我上六年级，那时候网吧刚在小县城的角落萌生。传奇，大话西游第一代网游一时风靡。我抱着试一试的心态给了网吧老板两块钱想申请个号玩玩，然后接下来的一个小时我一直在，注，册，账，号。 彼时网吧用的512k的带宽，注册的时候，填了一堆信息，提交，页面跳转，嘣，”您填写的信息有误，请重填”。然后跳转回注册页面，以此循环。我现在时常想，如果当时a
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    1.前言。   如题。 2.代码。   IoService IoService是一个接口，有两种实现：IoAcceptor和IoConnector；其中IoAcceptor是针对Server端的实现，IoConnector是针对Client端的实现；IoService的职责包括： 1、监听器管理 2、IoHandler 3、IoSession
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    Java中枚举实现的分析：     示例：  public static enum SEVERITY{ INFO,WARN,ERROR }     enum很像特殊的class，实际上enum声明定义的类型就是一个类。 而这些类都是类库中Enum类的子类      (java.l
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