矩阵的相似对角化
矩阵相似的定义
设 A与B都是N阶方阵，若是
一个可逆的N阶矩阵P，使得
，则称A与B相似，记作
，P成为由A到B的相似变换矩阵
相似矩阵的性质
1、
矩阵A与它自身相似
2、若，则
如果A与B相似，那么B与A也相似
证明：
所以
为B到A的相似变换矩阵
3、若
，则
相似具有传递性
证明：
将A代换B
其中
为A到C的相似变换矩阵
4、若，则
如果A和B相似，那么A与B等价
因为等价的定义是 
，存在P、Q使得A经过有限次的初等变换，成为B，那么称A与B等价
所以上述明显成立
也意味着，A和B两个矩阵的秩是一样的
5、若，则
，意味着如果两个矩阵相似，那么他们的特征值相同，因为特征值相同，所以两个矩阵的迹+行列式都相同
证明：
6、 若，
如果A、B相似，那么A的逆和B的逆也相似
证明：
所以，
7、 若，
如果A、B相似，那么A的伴随矩阵和B的伴随矩阵也相似
证明：
因为A、B相似，那么A、B的行列式相同
由6可知，A的逆与B的逆也相似
所以A的伴随跟B的伴随也相似
8、 若 ，
如果A、B相似，那么kA与kB也相似
证明：这个很简单
9、 若 ，
如何A、B相似，那么A的k次方与B的k次方也相似
证明：
10、 若 ，
，其中f(x)为多项式
如果A矩阵与B矩阵相似，那么A矩阵的多项式与B矩阵的多项式也相似
证明：
设
根据8+9的性质，就能证明该性质
11、 若 ，
如果A、B相似，那么A的转置和B的转置也相似
证明：
将之代入到
矩阵的相似对角化定义
其实就是中的B为对角矩阵（diag），或者称之为
，如果不存在矩阵P使得A可以变成对角矩阵，那么就称A不能相似对角化
两个问题，什么样的A可以相似对角化？A如果可以相似对角化，那么是多少？
设
其中
设
，其中
为n维的列向量
代入等式
...
这不就是特征值和特征向量么
如果两个矩阵相似，那么他们的特征值相同，所以如果A可以相似对角化，里的值就是特征值（见5的证明），P是特征值对应的特征向量，并且P需要可逆
P如果可逆的话，那么P满秩，秩为N，那么线性无关
意味着A如果正好能找到N个线性无关的特征向量，那么A就能相似对角化
而A里可能有很多特征值是相同的
意味着，我们只需要查找A的多重特征值里，恰好有对应数的线性无关的特征向量的话，那么A就能相似对角化
推论：如果A的特征值各不相同，那么A一定可以对角化