线性方程组 A x = b A\bold{x}=\bold{b} Ax=b有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵 ( A , b ) (A,\bold{b}) (A,b)具有相同的秩 R ( A ) = R ( A , b ) R(A)=R(A,\bold{b}) R(A)=R(A,b),记 r = R ( A ) = R ( A , b ) r=R(A)=R(A,\bold{b}) r=R(A)=R(A,b):
对于非齐次线性方程,需要计算 R ( A ) , R ( A , b ) R(A),R(A,\bold{b}) R(A),R(A,b)
对于齐次线性方程只需要计算 R ( A ) R(A) R(A)
这是线性方程组有解的特例,可以将定理进一步简化
齐次线性方程组 A x = 0 A\bold{x}=\bold{0} Ax=0齐次方程组的情况可以理解为 b \bold{b} b中元素全为0
容易知道 A x = 0 A\bold{x}=\bold{0} Ax=0总有 R ( A ) = R ( A ‾ ) = r R(A)=R(\overline{A})=r R(A)=R(A)=r,因此齐次线性方程组总是有解;
齐次线性方程组有解判定定理:齐次线性方程组 A x = 0 A\bold{x}=\bold{0} Ax=0有解的充要条件是 R ( A ) ⩽ n R(A)\leqslant{n} R(A)⩽n;
注意这里 X , B X,B X,B不一定是向量,可能是多行多列的矩阵
参考同济线代v6@p76@定理6
设 A , X , B A,X,B A,X,B分别为 m × n m\times{n} m×n, n × l n\times{l} n×l, m × l m\times{l} m×l的矩阵
对X和B按列分块:
矩阵方程 A X = B AX=B AX=B等价于 l l l个向量方程(线性方程组)
A X = A ( x 1 , x 2 , ⋯ x l ) AX=A(\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l) AX=A(x1,x2,⋯xl)= ( A x 1 , A x 2 , ⋯ A x l ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l) (Ax1,Ax2,⋯Axl)
所有 A X = B AX=B AX=B等价于 ( A x 1 , A x 2 , ⋯ A x l ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l) (Ax1,Ax2,⋯Axl)= ( b 1 , b 2 , ⋯ b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l) (b1,b2,⋯bl)
设 R ( A ) = r R(A)=r R(A)=r,且 A A A的行阶梯形矩阵为 A ~ \widetilde{A} A ,则 A ~ \widetilde{A} A 有 r r r个非零行,且 A ~ \widetilde{A} A 的后 m − r m-r m−r行为全零行
( A , B ) (A,B) (A,B)= ( A , b 1 , b 2 , ⋯ b l ) (A,\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l) (A,b1,b2,⋯bl) ∼ r \overset{r}{\sim} ∼r ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , b l ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})} (A ,b1 ,⋯,bl )
将等价的第 i i i个线性方程组的增广矩阵初等行变换为行阶梯形矩阵: ( A , b i ) (A,\bold{b}_i) (A,bi) ∼ r \overset{r}{\sim} ∼r ( A ~ , b i ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_i})} (A ,bi ), ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l) (i=1,2,⋯,l)
A X = B AX=B AX=B有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A x i = b i {A\bold{x}_i=\bold{b}_i} Axi=bi ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l) (i=1,2,⋯,l)有解
因此,如果 A X = B AX=B AX=B有解,则 R ( A , B ) = R ( A ) R(A,B)=R(A) R(A,B)=R(A)