LA@n维向量@解析几何向量和线性代数向量

概念

n维向量

• 由$n$个有次序的数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$组成的有序数组称为n维向量,简称向量
  • 数$a_i$称为向量的第$i$个分量

向量类型

实向量和复向量

• 分量全为实数的向量称为实向量,分量是复数的向量称为复向量(实向量是从属于复向量的)
  • 这里默认讨论的是实向量

行向量和列向量

• $n$维向量可以写成一行或一列,分别称为行向量,列向量(或分别称为行矩阵,列矩阵)

  • 一个$n$维行向量是$1\times n$的矩阵

    • ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} ​a1​a2​⋮an​​ ​

  • 一个$n$维列向量是$n\times 1$的矩阵

    • $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right)$$

• 通常以小写希腊字母,例如:$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma },\cdots$表示向量

• 也可以用小写的粗体的英文字母表示,例如:$\mathbf{a},\mathbf{b},\cdots$,或粗正体$\mathbf{a},\mathbf{b},\cdots$

• 有时为例书写方便,可以用非粗体:$\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$

• 在按行分块和按列分块的分块矩阵中,还可能出现用大写英文字母表示列分块或行分块,例如$A_1,A_2,\cdots$

行列向量的转换

• 列向量可以看作行向量的转置

• 习惯上,向量通常默认指列向量,设向量包含$a_1,a_2,\cdots ,a_n$元素

  • 列向量和行向量分别表示为

  • a = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) T a T = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) = ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) \bold{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}^T \\ \bold{a}^T=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}=(a_1,a_2,\cdots,a_n) a= ​a1​a2​⋮an​​ ​=(a1​​a2​​⋯​an​​)TaT=(a1​​a2​​⋯​an​​)=(a1​,a2​,⋯,an​)

  • 为了便于区分符号(文字)所表示的向量是列向量还是行向量,习惯上表示行向量的符号带上一个${}^T$上标,例如${\mathbf{a}}^T$表示列向量$\mathbf{a}$的转置得到的

  • 简化书写,由于列向量如果严格竖着写比较占用空间,紧凑性不好,我们可以利用转置性质:$\mathbf{a}=({\mathbf{a}}^T{)}^T$,将列向量用行向量的转置形式书写展开式,这样行列向量也可以用横着写

特殊向量

• 分量全为0的向量称为零向量
• 零向量第$i$个分量改为1得到的向量是$a_i=1$的$n$维基向量

向量运算

• 向量作为一种特殊的矩阵,仍然按照矩阵的运算规则运算

• $k\mathbf{a}=k(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n)$

  • $-\mathbf{a}=-(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(-a_1,-a_2,\cdots ,-a_n)$为向量$-\mathbf{a}$的负向量

矩阵的向量分块

• A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} A= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​

• 记 α j = ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) , j = 1 , 2 , ⋯   , n A = ( α 1 α 2 ⋯ α n ) \\记\alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{pmatrix},j=1,2,\cdots,n \\A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} 记αj​= ​a1j​a2j​⋮amj​​ ​,j=1,2,⋯,nA=(α1​​α2​​⋯​αn​​)

• 记 β i T = ( a i 1 , a i 2 , ⋯   , a i n ) , i = 1 , 2 , ⋯   , m A = ( β 1 T β 2 T ⋮ β m T ) 记\beta_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),i=1,2,\cdots,m \\ A= \begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix} 记βiT​=(ai1​,ai2​,⋯,ain​),i=1,2,⋯,mA= ​β1T​β2T​⋮βmT​​ ​

• A = ( α 1 α 2 ⋯ α n ) = ( β 1 T β 2 T ⋮ β m T ) A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \beta_{1}^T\\ \beta_{2}^T\\ \vdots \\ \beta_{m}^T \\ \end{pmatrix} A=(α1​​α2​​⋯​αn​​)= ​β1T​β2T​⋮βmT​​ ​

解析几何向量和线性代数向量

• 在解析几何中,我们把"既有大小又有方向的量"叫做向量
  • 把可随意平移的有向线段作为向量的几何形象
  • 引进坐标系后,这种向量就有了坐标表示:$n$个有次序的实数数组$(a_1,\cdots ,a_n)$
    • $n=1$对应的是标量
    • $n=2$对应于二维平面向量
    • $n=3$对应于三维空间向量
  • 当$n⩽3$时,$n$维向量可以把有向线段作为几何形象
  • 当$n>3$时,$n$维向量不再有几何形象,但是沿用一些几何术语

向量空间

• 几何中,"空间"通常是作为点的集合,构成空间的元素是点,这样的空间叫做点空间
  • 我们把$3$维向量的全体所组成的集合:${\mathbb{R}}^3$={$\mathbf{r}=(x,y,z{)}^T|x,y,z\in \mathbb{R}$}称为3维向量空间
  • 在点空间取定坐标系后,三维空间中的点$P(x,y,z)$与$3$维向量$\mathbf{r}=(x,y,z{)}^T$之间有一 一对应关系
• 因此向量空间可以类比为"取定了坐标系"的点空间
  • 在讨论向量的运算时,我们把向量看作有向线段
  • 在讨论向量集时,把向量$\mathbf{r}$看作时$\mathbf{r}$为径向的点$P$,从而把点$P$的轨迹作为向量集作为向量集的图形
    • 例如$\Pi =\{P(x,y,z)|ax+by+cz+d=0\}$,结合空间解析几何的知识,是一个平面方程的一般式,因此$\Pi$是一个平面$(a^2+b^2+c^2>0)$或$(a,b,c)\ne (0,0,0)$
    • 由此,向量集$S=\{\mathbf{r}=(x,y,z{)}^T|ax+by+cz+d=0\}$也叫做向量空间${\mathbb{R}}^3$中的平面(3维空间中的2维平面),并把$\Pi$作为向量集S的图形
      • 将$x,y,z$替换为$x_1,x_2,x_3$;$x,y,z$替换为$a_1,a_2,a_3$,则平面方程作$({\sum }_{i=1}^3{a}_i{x}_i)+b=0$

$n$维向量空间

• 设集合$D=\{1,2,\cdots ,n\}$
• $n$维向量的全体构成的集合 ${\mathbb{R}}^3$={$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T|\forall i\in D,x_i\in \mathbb{R}$}叫做$n$维向量空间

$n$维空间的 $n-1$维超平面

• $n$维向量的集合{$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T|({\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i)+b=0$}叫做$n$维向量空间${\mathbb{R}}^n$中的$n-1$维超平面