（SLAM）对单应矩阵的理解

其实单应矩阵描述的就是同一平面的点在不同图像之间的映射关系

举个例子来说明：

假如我们去超市用支付宝付款，而扫描二维码的时候，我们不需要正对着二维码，而是多少带着点角度，你会发现就算偏转很大的角度也能识别出来。这其中的过程就是先将二维码从背景中提取出来，并且变成非常工整的矩形二维码。这个二维码是一个平面，所以满足同一个平面的要求。这就是单应矩阵的一个非常重要的应用：图像矫正。

除此之外单应矩阵还有很多的应用，例如：张正友相机标定法、图像拼接等。

单应矩阵

两个相机在拍摄同一个平面的时候，就是如图所示的效果。

相机成像原理公式：
$\left[ \begin{matrix} u\\ v\\ 1 \end{matrix} \right]=\frac{1}{Z} \left[ \begin{matrix} f_x & 0 & c_x\\ 0 & f_y & c_y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} R & t\\ 0^T &1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_w\\ y_w\\ z_w\\ 1 \end{matrix} \right]=\frac{1}{Z}KT \left[ \begin{matrix} x_w\\ y_w\\ z_w\\ 1 \end{matrix} \right]$
我们把简化一下其形式：
$\left[ \begin{matrix} u\\ v\\ 1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03}\\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23}\\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_w\\ y_w\\ z_w\\ 1 \end{matrix} \right]$
矩阵是一个是一个的矩阵，空间点在同一个平面上，则矩阵就变成了的矩阵。相机不同位置所拍摄图像，得到的关系式为：

整理合并就可以得到：

其中就是单应矩阵。

可给出计算单应矩阵的部分代码，OpenCV中已有现成函数可供调用：

void pose_estimation_2d2d ( std::vector keypoints_1,
                            std::vector keypoints_2,
                            std::vector< DMatch > matches,
                            Mat& R, Mat& t )
{
    // 相机内参,TUM Freiburg2
    Mat K = ( Mat_ ( 3,3 ) << 520.9, 0, 325.1, 0, 521.0, 249.7, 0, 0, 1 );

    //-- 把匹配点转换为vector的形式
    vector points1;
    vector points2;

    for ( int i = 0; i < ( int ) matches.size(); i++ )
    {
        points1.push_back ( keypoints_1[matches[i].queryIdx].pt );//query是要匹配的描述子，train是被匹配的描述子
        points2.push_back ( keypoints_2[matches[i].trainIdx].pt );
    }

    //-- 计算基础矩阵
    Mat fundamental_matrix;
    fundamental_matrix = findFundamentalMat ( points1, points2, CV_FM_8POINT );
    cout<<"fundamental_matrix is "<

 
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