视觉SLAM十四讲——ch3回顾与总结（三维刚体运动）

写在最前面：
在学习之前首先感谢b站博主lessLe6，小姐姐讲的十分容易理解。

首先了解坐标的变换，因此有了矩阵帮助理解，但是由于矩阵太过冗余因此提出了旋转向量；又因为旋转向量不直观，故有了欧拉角；但是欧拉角又存在万向锁的情况会导致奇异性，因此便有了四元数。
在视觉SLAM中，我们用的也是四元数。

0. 部分基础知识

在学习之前最好已经有一些数学基础，这是我的一些总结：https://blog.csdn.net/qq_44164791/article/details/131503895?spm=1001.2014.3001.5501
除此之外，还有一些与视觉SLAM有关的基础知识在下面列举

0.1 概括

1. 三维空间是由3个轴组成，则一个空间点的位置可以由3个坐标确定，也就是任何一个点都存在于我们的三维坐标系中。
2. 我们的研究主要是针对于刚体，对于一个刚体，不仅有位置，还有自身的姿态。相机可以看成三维空间中的刚体，则位置就是说相机在空间中的哪个地方，姿态是指相机的朝向（例：相机处于空间（0，0，0）处，朝向正前方)
   说明：

刚体： 在运动和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体

0.2 数学语言

如果想用数学语言对我们的概括进行描述的话，首先我们需要知道几个概念：

点： 没有长度和体积
向量： 带指向性的箭头
坐标： 可以理解为位置
坐标系： 构成线性空间的一组基，分为左手系和右手系

在视觉SLAM中，我们将相机视为点，SLAM是实时定位与建图，在这个过程中，相机肯定是运动的，运动就会有变化，此时我们就将相机的运动用向量表示；为了有更好的数学对其进行量化，我们将相机放入世界坐标系中，就可以得到相机在世界坐标中的坐标，就可以进一步用数学语言描述相机的变化。

0.3 提到的一些知识

到目前为止就可以正式学习啦

1. 旋转矩阵R和变换矩阵T

之所以会提出来这两个矩阵，是因为我们将相机视为一个点，它存在于世界坐标系中。但是我们SLAM的完整功能的实现，需要将相机拍摄到的图片进行处理。因此就涉及到相机坐标系了，然而世界坐标系和相机坐标系是不同的坐标系，于是就有了世界坐标系和相机坐标系如何进行转换的问题。我们将这个变换称为欧氏变换

欧氏变换时由旋转和平移组成。先讨论旋转再讨论平移，这里利用单位正交基来表示坐标系。

1. 旋转

假设： 某坐标系$(e_1,e_2,e_3)$，经过一次旋转后变成了$(e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},e_3^{{}^{\prime }})$
对于一个固定的$a$，我们探讨它的坐标如何变化。（注： 这里的固定指的是向量本身的长度方向不变）
由于旋转前后向量是固定不变的，因此有：

左乘初始坐标系的转置，则有：

上式中的3×3矩阵记为$R$，我们称为旋转矩阵。旋转矩阵是一个正交矩阵而且其行列式为+1或者-1 可以利用旋转矩阵描述两个坐标的变换

1. $a_1=R_{12}{a}_2$说的是由坐标系2变换到坐标系1
2. $a_2=R_{21}{a}_1$说的是由坐标系1变换到坐标系2
3. 由1、2可得$R_{21}=R_{21}^{-1}=R_{12}^T$

此时，我们只描述了旋转，再加上平移的话就可以完全描述两个坐标系的刚体运动了。
加上平移之后：
$$a^{\prime }=Ra+t$$

1.2 变换矩阵

现在出现一个问题就是当连续变动坐标系的时候，狮子就会变得很复杂，比如说：$c=R_{1}a+t_1,c=R_{2}b+t_2$从$a$到$c$就成了$c=R_2(R_{1}a+t_1)+t_2$，这样看起来就很复杂，此时，我们可以将旋转和平移结合，给它增加一个维度，如下所示：

这样就可以得到以下式子：

通过将旋转和平移放在同一个矩阵中，得出变换矩阵，同样的也可以进行反向变换，即：

总的来说：

1. 三维的旋转矩阵有九个量，但一次旋转只有三个自由度。因此这种表达方式是冗余的。
2. 而且旋转矩阵自身带有约束:它必须是个正交矩阵,且行列式为1。变换矩阵也是如此。当我们想要估计或优化一个旋转矩阵°变换矩阵时，这些约束会使得求解变得更困难。
   那么，接下啦就要探究更紧凑的表示

2. 旋转向量

3. 欧拉角

4. 四元数