【考研数学】矩阵、向量与线性方程组解的关系梳理与讨论
文章目录
- 引言
- 一、回顾
- 二、梳理
-
- 齐次线性方程组
- 非齐次线性方程组
- 写在最后
引言
两个原因让我想写这篇文章，一是做矩阵题目的时候就发现这三货经常绑在一起，让人想去探寻其中奥秘；另一就是今天学了向量组的秩，让我想起来了之前遗留下来的一个问题：到底存不存在系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之差比 1 大的情况？可能这个问题有点抽象，不过看了下面的具体说明应该就能理解了。
一、回顾
问题起因是这样，我在写行列式的文章中关于克莱姆法则应用的说法是这样的：
有读者建议，把方程组无解的情况别写成 r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) r(A) \ne r(\overline{A}) r(A)=r(A) ，而写成 r ( A ) + 1 = r ( A ‾ ) r(A) +1 = r(\overline{A}) r(A)+1=r(A) . 我当时还未复习到方程组和向量部分，有这样的疑问：为什么非得是相差 1 ，我如果 A A A 有很多行为 0 ，增广矩阵的秩不就可以比系数矩阵大不止 1 吗？
我当时隐约感觉是行秩和列秩模糊的问题。一方面矩阵中，我们比较常用的是初等行变换，忽视了列变换以及列秩，另一方面，列秩在方阵中和行秩是一样的。
起初我也是认为，列秩没什么用的，直到学到了向量这一部分。由于一般我们指的向量是列向量，那么由一个向量组构成的矩阵，自然考虑的是列秩。
因此我们针对一个一般性的 m × n m \times n m×n 矩阵或 n n n 个 m m m 维的向量组进行梳理，请看下文。
二、梳理
对于一般齐次线性方程组：
以及一般非齐次线性方程组：
令 α 1 = ( a 11 , a 21 , … , a m 1 ) T , α 2 = ( a 12 , a 22 , … , a m 2 ) T , … , α n = ( a 1 n , a 2 n , … , a m n ) T , b = ( b 1 , b 2 , … , b m ) T \alpha_1=(a_{11},a_{21},\dots,a_{m1})^T,\alpha_2=(a_{12},a_{22},\dots,a_{m2})^T,\dots,\alpha_n=(a_{1n},a_{2n},\dots,a_{mn})^T,b=(b_{1},b_{2},\dots,b_{m})^T α1=(a11,a21,…,am1)T,α2=(a12,a22,…,am2)T,…,αn=(a1n,a2n,…,amn)T,b=(b1,b2,…,bm)T ，则方程组（I）（II）可表示为如下向量形式： x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = 0 （ 1.1 ） x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=0 （1.1） x1α1+x2α2+⋯+xnαn=0（1.1） x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = b （ 2.1 ） x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=b （2.1） x1α1+x2α2+⋯+xnαn=b（2.1）
令矩阵 A = [ α 1 , α 2 , … , α n ] A=[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n] A=[α1,α2,…,αn] ，即
则方程组（I）（II）可表示为如下矩阵形式： A ( x 1 , x 2 , … , x n ) T = 0 （ 1.2 ） A(x_1,x_2,\dots,x_n)^T=0（1.2） A(x1,x2,…,xn)T=0（1.2） A ( x 1 , x 2 , … , x n ) T = b （ 2.2 ） A(x_1,x_2,\dots,x_n)^T=b（2.2） A(x1,x2,…,xn)T=b（2.2）
齐次线性方程组
对于齐次线性方程组（I），它有 m m m 个约束方程， n n n 个未知数。首先我们应了解的是，不管方程个数和未知数个数多少，不可能无解，都是存在零解的。我们要讨论，就是讨论有没有非零解。我们分三种情况：
（一） m < n . m < n. m<n.
此时齐次线性方程组约束条件个数小于未知数，必有一个未知数无法受限制，如果那个不受限制的未知数取非零的话，就存在非零解。那么向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 必线性相关，则该向量组的秩 < n
这种情况其实没什么好讨论的，因为肯定存在非零解，所以这也是为什么书上很少提及的情况吧。
（二） m = n . m=n. m=n.
此时就有讨论的必要了，因为方程组可能只有零解，也可能有非零解。
若齐次方程组只有零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) = n . r(A)=n. r(A)=n.
我们此时可以得出 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \ne 0 ∣A∣=0，即因为系数矩阵是方阵且满秩。
若齐次方程组有非零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) < n . r(A)
为什么是小于 n n n 呢？因为构成系数矩阵的列向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn的秩小于 n n n ，根据三秩相等性质，该矩阵的秩亦小于 n n n 。
（三） m > n . m > n. m>n.
此时约束方程个数更多，不过不影响什么。系数矩阵的秩仍然是满足 r ( A ) ≤ n , r(A) \leq n, r(A)≤n, 同样有和第 2 种情况一样的的结论。
把这三种情况总结起来，其实还是第二种情况的结论。因此不论是否是方阵，未知数和方程的个数如何，都有如下结论：即
- 齐次方程组只有零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) = n . r(A)=n. r(A)=n.
- 齐次方程组有非零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) < n . r(A)
r(A)<n.
非齐次线性方程组
对于非齐次线性方程组（II），它有 m m m 个约束方程， n n n 个未知数，右端常数向量为 b = ( b 1 , b 2 , … , b m ) \pmb{b=(b_1,b_2,\dots,b_m)} b=(b1,b2,…,bm) ，增广矩阵为 A ‾ = [ A ∣ b ] . \overline{A}=[A|b]. A=[A∣b].
我们从其对应的齐次线性方程组（I）出发，若（I）只有零解，根据上述结论，有向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关且 r ( A ) = n . r(A)=n. r(A)=n.
接下来我们讨论此时非齐次的情况，若非齐次线性方程组（II）无解，则向量 b \pmb{b} b 不能被无关的向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示，故增广矩阵的列向量组 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,b 也线性无关，可得 r ( A ‾ ) = n + 1 r(\overline{A})=n+1 r(A)=n+1 . 若非齐方程组（II）有解，则向量 b \pmb{b} b 能被向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示，故增广矩阵的列向量组 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,b 线性相关，可得 r ( A ‾ ) < n + 1 r(\overline{A})
若方程组（II）对应的齐次方程组（I）有非零解，根据前一部分的结论，方程组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性相关且 r ( A ) < n . r(A)
我们讨论此时的非齐次方程组（II）的情况，若方程组（II）无解，则向量 b \pmb{b} b 不能被向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示，但由于向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 是线性相关的，故增广矩阵的列向量组 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,b 线性相关，可得 r ( A ‾ ) < n + 1 r(\overline{A})
因为向量 b \pmb{b} b 不能被向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示，则向量组 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,b 的秩比向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 多 1 ，即 r ( A ‾ ) = r ( A ) + 1. r(\overline{A})=r(A)+1. r(A)=r(A)+1.
O.O 这个还是可以直观理解的。向量组是一列一列的，加了一列不能被原来表示的列，肯定秩加了 1 嘛。
若方程组（II）有解，则向量 b \pmb{b} b 能被向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示，故 r ( A ‾ ) = r ( A ) < n . r(\overline{A})=r(A)
如下图所示，讨论了所有情况下的秩的特征
总结一下可以得到如下一般性的结论：
- 非齐次方程组有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ‾ ) = r ( A ) . r(\overline{A})=r(A). r(A)=r(A).
- 非齐次方程组无解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ‾ ) ≠ r ( A ) , r(\overline{A})\ne r(A), r(A)=r(A), 或 r ( A ‾ ) = r ( A ) + 1. r(\overline{A})=r(A)+1. r(A)=r(A)+1.
有解其实还可以再做讨论，就放在后面方程组那一章再来细说吧。
写在最后
看来还是自己疏忽了三秩相等的性质，才会产生开头那样的疑问。
现在也越来越认同，其实向量才是贯穿线性代数的重要工具。