数据结构基础：P11.2-散列查找---＞散列函数的构造方法

本系列文章为浙江大学陈越、何钦铭数据结构学习笔记，前面的系列文章链接如下：
数据结构基础：P1-基本概念
数据结构基础：P2.1-线性结构—＞线性表
数据结构基础：P2.2-线性结构—＞堆栈
数据结构基础：P2.3-线性结构—＞队列
数据结构基础：P2.4-线性结构—＞应用实例：多项式加法运算
数据结构基础：P2.5-线性结构—＞应用实例：多项式乘法与加法运算-C实现
数据结构基础：P3.1-树(一)—＞树与树的表示
数据结构基础：P3.2-树(一)—＞二叉树及存储结构
数据结构基础：P3.3-树(一)—＞二叉树的遍历
数据结构基础：P3.4-树(一)—＞小白专场：树的同构-C语言实现
数据结构基础：P4.1-树(二)—＞二叉搜索树
数据结构基础：P4.2-树(二)—＞二叉平衡树
数据结构基础：P4.3-树(二)—＞小白专场：是否同一棵二叉搜索树-C实现
数据结构基础：P4.4-树(二)—＞线性结构之习题选讲：逆转链表
数据结构基础：P5.1-树(三)—＞堆
数据结构基础：P5.2-树(三)—＞哈夫曼树与哈夫曼编码
数据结构基础：P5.3-树(三)—＞集合及运算
数据结构基础：P5.4-树(三)—＞入门专场：堆中的路径
数据结构基础：P5.5-树(三)—＞入门专场：File Transfer
数据结构基础：P6.1-图(一)—＞什么是图
数据结构基础：P6.2-图(一)—＞图的遍历
数据结构基础：P6.3-图(一)—＞应用实例：拯救007
数据结构基础：P6.4-图(一)—＞应用实例：六度空间
数据结构基础：P6.5-图(一)—＞小白专场：如何建立图-C语言实现
数据结构基础：P7.1-图(二)—＞树之习题选讲：Tree Traversals Again
数据结构基础：P7.2-图(二)—＞树之习题选讲：Complete Binary Search Tree
数据结构基础：P7.3-图(二)—＞树之习题选讲：Huffman Codes
数据结构基础：P7.4-图(二)—＞最短路径问题
数据结构基础：P7.5-图(二)—＞哈利·波特的考试
数据结构基础：P8.1-图(三)—＞最小生成树问题
数据结构基础：P8.2-图(三)—＞拓扑排序
数据结构基础：P8.3-图(三)—＞图之习题选讲-旅游规划
数据结构基础：P9.1-排序(一)—＞简单排序(冒泡、插入)
数据结构基础：P9.2-排序(一)—＞希尔排序
数据结构基础：P9.3-排序(一)—＞堆排序
数据结构基础：P9.4-排序(一)—＞归并排序
数据结构基础：P10.1-排序(二)—＞快速排序
数据结构基础：P10.2-排序(二)—＞表排序
数据结构基础：P10.3-排序(二)—＞基数排序
数据结构基础：P10.4-排序(二)—＞排序算法的比较
数据结构基础：P11.1-散列查找—＞散列表

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前言

散列函数的设计应该考虑以下两个因素

计算简单，以便提高转换速度；
关键词对应的地址空间分布均匀，能够把不同对象均匀地映射到不同的地址空间里去，以尽量减少冲突。映射得越均匀，这样冲突会越少，效率会更高。

一、数字关键词的散列函数构造

1.1 直接定址法

思路：取关键词的某个线性函数值为散列地址，即h(key)=a × key + b (a、b为常数)
例子：

我们想管理不同年份里面的人口的总数，关键词是年份。它的值是1990一直到2011，而我们现在要映射的地址是0-21这样的一个地址空间。所以可以直接用一个线性函数来实现：h(key) = key - 1990
映射结果如下：

1.2 除留余数法

思路：把我们的关键词通过求余运算，把一个大的整数转换成一个小的整数，这个小的整数就相当于是散列表里面的地址。散列函数为：h(key) = key mod p
例子：

比方说我们前面的那个例子，通过对17求余来获得相应的地址，h(key) = key % 17

这里面p = Tablesize = 17。一般而言，为了映射均匀，p取素数

1.3 数字分析法

思路：我们给的关键词可能由很多位数组成，每一位的变化情况可能不一样，有的某一位是一直都不动的，而某些位会随机变化。所以数字分析法只希望分析出对象的关键字在每一位上的一种表现，我们把那些能够随机变化的这些位取出来组成我们的地址，达到映射均匀的这样的一个目的。
例子：

对于一些区域的手机号码，前面7位都是相同的，只有后面4位会变化。取11位手机号码key的后4位作为地址，散列函数为：h(key) = atoi(key+7) (char *key)
这里key指向了这11位电话号码的第一个字符的地址，所以我们加上7之后就往后挪了7位，指向了倒数第四位。

再通过atoi函数(int atoi(char *s)，将类似"5678"的字符串转换成整数5678)，把一个字母串转化为整数。

例子：

另外一个典型的例子看看我们的身份证号码，身份证号码有18位，在这个18位里面每一位都有特定的含义。

蓝色标记的6位变化较大，于是构造散列函数如下：
${\mathrm{h}}_1(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y})=(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}[6]-‘0’)\times 10^4+(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}[10]-‘0’)\times 10^3+(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}[14]-‘0’)\times 10^2+(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}[16]-‘0’)\times 10+(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}[17]-‘0’)$
$\mathrm{h}(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y})={\mathrm{h}}_1(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y})\times 10+10$ （当 $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}[18]=‘\mathrm{x}’$时）
或 $={\mathrm{h}}_1(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y})\times 10+\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}[18]-‘0’$ （当$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}[18]=’0’-9’$时）

1.4 折叠法

思路：把很长的数字的关键词拆成若干个部分，然后把它们叠加在一起。
例子：

比方说我们的关键词总共有8位，我们可以把它拆成若干个三位。后面三位542，再下来三位793，然后56我们前面补个0。然后把这三段相加，相加完之后得到结果是1391，这个时候我们取391作为我们的函数的结果值，也是作为地址。

1.5 平方取中法

思路：我们希望设计的哈希函数的结果能够被每一位所影响，所以有一种方法就是把这个大数取个平方，然后我们取中间几位。
例子：

比方说我们有个8位的数，平方之后我们取中间三位

二、字符串关键词的散列函数构造

2.1 一个简单的散列函数——ASCII码加和法

思路：把每一个字符对应ASCII 码的编码简单相加，然后求个余数。散列函数定义如下：h(key) = (Σkey[i]) mod TableSize)
分析：

①这种方法会出现较多的冲突
比如a3、b2、c1会冲突，eat、 tea会冲突。
②非常容易产生聚集
ASCII码的编码主要用到了7位，也就是说对每个字符来讲，他的编码范围是0-127。如果变量名是10位的，这样的一个字母串我们简单的把它Σ起来后的值就是在0-1270之间。而变量名实际上的变化是非常多的，所以如果以很窄的计算结果来对付一个很广的变量范围，这样的一个哈希函数很容易会产生聚集。

2.2 简单的改进——前3个字符移位法

思路：针对上面那种情况，我们可以变化范围再加大一点。我们可以把前面的三个字符看成是二十七进制里面的百位数、十位数、个位数，这样把整个的地址空间扩展开来(因为我们有26个字母，之后可能当中会有空格，所以有27个字符)。对应的哈希函数为：$\mathrm{h}\left(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}\left[0\right]\times 27^2+\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}\left[1\right]\times 27+\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{y}\left[2\right]\right)\%\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{e}$
分析：

①仍然冲突：
string、 street、strong、structure等等；
②空间浪费：
如果每个字符有26种变化情况，那么前三个字符的变化情况是26³。而实际上有人通过统计，前三位一般的出现的情况是3000种。所以利用率仅3000/26³ ≈ 30%

2.3 好的散列函数——移位法

思路：进一步的考虑呢，我们就不是取前面三个字符进行组合，我们把所有的字符都进行组合。就是你给我一个字符串，我把所有位位全部考虑进去，同时我把它看成是一个32进制的.
例子：

如何快速计算$\mathrm{h}(“\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{e}”)=‘\mathrm{a}’\ast 32^4+’\mathrm{b}’\ast 32^3+’\mathrm{c}’\ast 32^2+’\mathrm{d}’\ast 32+’\mathrm{e}’$
方法①：
(((a*32+b)*32+c)*32+d)*32+e，可以减少乘法次数
方法②：
可以通过移位运算，*32相当于向左移动5位。

方法2对应代码如下：

Index Hash ( const char *Key, int TableSize )
{ 
	 unsigned int h = 0; /* 散列函数值，初始化为0 */
	 while ( *Key != '\0') /* 位移映射 */
		 h = ( h << 5 ) + *Key++;
	 return h % TableSize;
}