【MATLAB】最小生成树Kruskal算法

1.Kruskal算法

1.1 基本思想

将图的n个顶点看作n个分离的部分树，每个树具有一个顶点，算法的每一步就是选择连接两个分离树的具有最小权值的边，将两个树合二为一，直到只有一个树为止（进行n-1步）得到最小生成树。

1.2 步骤

$\bullet$ 选择边e₁，使得w(e₁)尽可能小。

$\bullet$ 再次选择最小边，必须满足不构成圈且边权尽可能小。

$\bullet$ 直到不能满足则停止。

按照上述步骤：
$\bullet$ 先选取顶点1-4的边，权值为1
$\bullet$ 接着去顶点4-5的边，权值为3
$\bullet$ 接下来本来应该去顶点1-5的边，但是由于会构成环，所以不选取
$\bullet$ 接着选取顶点2-3的边，权值为6
$\bullet$ 接着选取顶点2-5的边，权值为7，最小生成树构成。

---

2.算法实现

2.1 存储结构

我们使用边权矩阵进行存储数据，边权矩阵就是按列写入，每列由出发顶点、接收顶点和边的权值组成，如下所示：

$$\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 2& 2& 3& 3& 4\\ 2& 4& 5& 3& 5& 4& 5& 5\\ 8& 1& 5& 6& 7& 9& 10& 3\end{array}\right]$$

2.2 MATLAB代码

%边权矩阵，每一列都表示一条边，从上到下分别为两个顶点以及它们边的权值
b = [1 1 1 2 2 3 3 4;
     2 4 5 3 5 4 5 5;
     8 1 5 6 7 9 10 3];
%sortrows函数对某一列进行比较排序，所以我们先转置b矩阵，然后对第三列也就是权值进行排序
[B,i]=sortrows(b',3);
%再将其转置回来
B=B';
%m为边的条数，n为点的个数
m=size(b,2);n=5;
%t数组用来标记选中的边，k用来计数，T矩阵用来存储选中的边，c计算最小生成树的总长度
t=1:n;k=0;T=[];c=0;

for i=1:m
    if t(B(1,i))~=t(B(2,i))
        k=k+1;T(k,1:2)=B(1:2,i),c=c+B(3,i);
        tmin=min(t(B(1,i)),t(B(2,i)));
        tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i)));
        for j=1:n
            if t(j)==tmax
                t(j)=tmin;
            end
        end
    end
    if k==n-1
        break;
    end
end
T,c,

结果：T表示最小生成树的边，c表示最下生成树的总的权值。