多边形的内角和与外角和

我们早已接触过,三角形的内角和为180度,四边形的内角和为360度,但是好像严格证明过的很少。我们现在已是初二,该严谨证明他们啦。

三角形内角和:

三角形内角和

四边形内角和:

四边形内角和

三角形和四边形的内角和我们比较熟悉,那五边形呢?我们可以来分割一下:

五边形内角和

我们有没有发现什么规律呢?三角形的内角和为180度,四边形的内角和为360度,五边形的内角和为540度……那对于n边形的内角和,我们又能总结出什么呢?比如说六边形可以分割成四个三角形,七边形可以分割成五个三角形……连接一个顶点到各顶点的线段,一个n边形就可以分割成n-2个三角形。如图:

依次连接AC、AD、AE和AF,而因为AB、AG本来就是这个七边形的边,所以在多边形中,连接n-3条对角线,我们就能分割出n-2个三角形。则多边形的内角和就是(n-2)乘以180度。

研究完内角和,就该研究外角和了,外角是与内角邻补的,而相对于内角和,外角和就显得陌生些了。我之前好像听说过三角形的外角和是360度:

三角形外角和

那四边形的外角和呢?试一下:

四边形外角和

那五边形的外角和莫非也是360度?

五边形外角和

哇!也就是说多边形的外角和都是360度?试想,n边形的外角就等于180度减去与它相邻的内角,也就是说,n个平角减去内角和等于外角和,则:

外角和都为360度

我们还可以用几何变换来解释多边形形的外角和。比如,如果我们把多边形的每条边顺时针或逆时针延长,然后无限缩小,就会发现这多条边的延长线都相交于一点,也就是一个周角,所以说外角和都为360度。还有一种通过旋转变换来解释。想象一下,如果我们把多边形所有的边延长,然后从一条边开始,将这条边旋转一定角度直到与它相邻的边重合,然后再旋转一定角度使与它相邻的边重合,直到它转到原来的位置。那么就是说这条边绕了一圈,它扫过的面积便是一个圆,外角和也对应着,就是360度了。

那外角和与内角和又有什么关系呢?实际上我们前面也有略微提到,因为外角与内角邻补,所以外角就等于180度减去它对应的内角,所以在n边形中,n个平角减去所有的内角和就等于外角和。

诶?等等,我们前面提到的全部都是凸多边形,但是还有一种多边形是凹多边形!凹多边形的内角和外角和是否跟凸多边形的一样呢?我们来试一下:

四边形内角和(凹多边形)
五边形内角和(凹多边形)

看来我们在证凸多边形的内角和时用到的“分割法”依旧成立,也就是说不论是凸多边形还是凹多边形,内角和都是(n-2)乘以180度。那外角和呢?凹多边形的外角和是否也都是360度呢?我们首先就得明确一下,在凹多边形中,外角到底是哪几个角。我们可以用先前说过的旋转变换来定义外角:

比如在这幅图中,角1、角2、角3、角4就分别是这个多边形的外角。那这四个角加起来是否也等于360度呢?

四边形外角和(凹多边形)

??证着证着,怎么变成角1加角2加角3减角4等于180度了呢?试试五边形,会不会得到类似的结果呢?

五边形外角和(凹多边形)

天呐!难道这就是凹多边形外角和的规律吗?在凹多边形中,除大于平角的内角对应的外角(如两张图中的角4)外,其他外角的和再减去这个外角,就等于360度。

凹多边形在教材上是没有进一步讨论的,这主要是因为在凹多边形中有大于平角的角吧,但是凹多边形真的是一种很神奇的形状……

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