线性代数学习1.0

行列式的计算

二阶行列式

主对角线相乘减去副对角线相乘

多阶行列式

  • 采用的方法是化为上三角形的形式

  • 利用的原理性质是某行加减林另外一行的几倍行列式不变
    线性代数学习1.0_第1张图片

  • 首先利用第一行消去第一列的元素
    再利用第二行消去第二列的其他元素
    再利用第三行消去第三列的其他元素
    直到求出行列式的值

其他的两个性质

  • 行列式两行互换值乘-1
  • 行列式一行或一列乘k倍其总体就得乘k倍

有0先变换
无0化加减

公式一

对角线的数字和其他数字不一样
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公式二

每一列都是上一列的次方数加一
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行列式的性质

  • 行列式的一行等于零一行的倍数时候行列式为0
  • 行列式的两个数相加可以拆开变成两个行列式

求余子式,代数余子式

  • 去掉行 去掉列 求剩下部分的行列式的值
  • 去掉行 去掉列 剩下行列式的值乘以-1的多少次方 多少是此时的行数加列数
    线性代数学习1.0_第4张图片

求行列式的值

行列式按行按列的展开
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如果某一行或一列除了一个数之后全是0
注意:

  • 行列式乘的是其对应的代数余子式

多个A和M相加减

将A和M换为的展开式改变行列式即可
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给一个方程组判断其解的情况(通过行列式的值判断)

  • 齐次:方程右边为0 非齐次:方程右边不为0
  • 对于非齐次的方程组来说如果D=0 无解或多个解
  • 对于非齐次的方程组来说 如果D不等于0 只有一个非零解
  • 对于齐次的方程组来说 如果D等于0 有0解和非零解 如果D不为0 只有零解
  • 线性代数学习1.0_第7张图片

矩阵加减

  • 一一对应的进行加减就可以

矩阵相乘

  • 前列等于后行
  • 前行乘后列

矩阵相乘的六种特殊情况

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  • 0矩阵即是全部都是0
  • E矩阵与任何矩阵相乘都为E E矩阵可以自适应几行几列
  • AB和BA不相等
  • AX=AY不能推出X等于Y
  • (AB)^k 不等于A^k B^k
  • 完全平方公式不可以被合并 有E矩阵存在时才可以合并

涉及转置的题目

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证明矩阵可逆

  • 方法1:判断行列式不为0就可逆
  • 方法2 :让一个矩阵乘他或他乘一个矩阵等于E

求逆矩阵

求一个矩阵的逆矩阵采用初等行变换的方法求

利用A逆乘A等于E

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利用A星号乘A等于A绝对值E

同上消去A星

求矩阵的R

让下行的0永远比上行多

已知矩阵的R求其他的的未知数

将矩阵尽量化为从下到上0变少的形式
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判断某向量可否由某向量组线性表示

将新的向量与原向量组成新的向量方程组

判断某个向量组是否线性相关

R个数如果小于向量个数就线性相关 否则就线性无关

已知一组基底 求一向量在此基底下的坐标

设k1 k2 k3 在新的基底下实现

求几个行向量的极大无关组

就是把他化为R的形式看他对哪一行进行了变换

判断方程组解的个数(Rank)线性代数学习1.0_第12张图片

解方程组

  • 求RA增广矩阵
  • 将其中第R行R列化成E
  • 设未知数个数减去RA的k依次代替后几个未知数
  • 再将改变后的矩阵回复为方程组
  • 用代替后的k来表示出每个x的值

求通解 特解 基础解系

通解就是带k的值
特解就是把k赋值成一个
基础解系就是只取其中k几列的值

通过特解求通解

求其次的通解
把非齐次的对其右侧为0
再通过加一个常数构造成求非齐次的通解

判断解集合空间中线性无关的解向量个数

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规范正交化

  • 中括号指的是点积

  • 双竖线代表平方和再取根号

  • 规范正交化的方法!# 线性代数学习1.0_第14张图片线性代数学习1.0_第15张图片

求矩阵的特征值

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求矩阵的特征值A-λE的行列式
求解出λ
λ123从次方数小到大排序

求矩阵的特征向量

求(A-λE)x=0的通解就是特征向量
求通解注意分类讨论λ的值

判断方阵是否与对角线相似/是否满足p-1AP=尖

特征向量等于则满足 不等于则不满足
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求方阵的对角阵以及可逆变换矩阵P

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再将矩阵从左到右依次排列得到可你变换矩阵

已知关于对角阵相似 求关于A的复杂式子

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求二次型对应的系数矩阵

  • 找出二次型式子所含的最大的n
  • 将其化为特定的形式
  • 找出相应的a最后化为矩阵形式
  • 将上半部分对称的填到矩阵当中
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把二次型化成标准形式

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把二次型化成规范形

用配方法把二次型化为标准型

判断二次型的正定性

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二次型为正定的等价条件

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