Unity之3D数学基础
第一章：3D数学介绍
1. 介绍
3D(three dimensions)，立体空间。
3D数学
研究在3D几何世界中的数学问题，被广泛的应用于使用计算机来模拟3D世界的领域，比如图形学、游戏、虚拟现实和动画等。
为什么要学习3D数学？
掌握了3D数学的知识之后，对我们将来学习图形学、游戏制作都有很大的帮助。
2. 1D（数轴）
1D：关于计数和度量的数学。
数学上，数轴是个一维的图，整数作为特殊的点均匀地分布在一条线上。数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线。
3. 2D（笛卡尔坐标系）
2D：关于平面的数学。
数学上，相交的两条直线可以确定一个唯一的平面。相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系。
如果两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。
数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。
在2D笛卡尔坐标系中，我们用（x,y）来表示一个点，称之为坐标。
坐标的每个分量都表明了该点与原点之间的距离和方位，每个分量都是到相应轴的有符号距离。
4. 3D（空间直角坐标系）
3D：关于3D空间的数学。
从2D扩展到3D：相对于2D笛卡尔坐标系，我们需要3个轴来表示三维坐标系，一般叫做空间直角坐标系。
第3个轴一般被称为Z轴，一般情况下，3个轴互相垂直。
任意2个轴可以组成一个平面，我们一般称为XY平面、XZ平面、YZ平面，每个平面又与另一个轴相垂直。我们可以认为这3个平面是3个2D笛卡尔空间。
在3D中，我们用（x,y,z）来表示一个点，坐标的每个分量分别代表了该点到yz、xz、xy平面的有符号距离。
5. 左手坐标系与右手坐标系
z轴方向的确定有2种方式：左手坐标系和右手坐标系。
左手坐标系：伸开左手，大拇指指向X轴正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。
右手坐标系：伸开右手，大拇指指向X轴正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。
3D笛卡尔坐标系：是右手坐标系。
OpenGL：右手坐标系。
Direct3D：左手坐标系。
Unity3D：左手坐标系（世界坐标系），即+x，+y，+z分别指向右方、上方和前方。
练习1：
答：OPenGL坐标值：（2，3，3）；Unity3D坐标值：（2，3，-3）
练习2：
答： 右手坐标系
第二章：Unity中的几种坐标系
1. 介绍
在不同的情况下使用不同的坐标系更加方便，所以在Unity中有多种坐标系：
（1）全局坐标系 World Coordinate System
（2）局部坐标系 Local Coordinate System
（3）屏幕坐标系 Screen Space
（4）视口坐标系 ViewPort Space
2. 全局坐标系
全局坐标系是用于描述场景内所有物体位置的方向的基准，也称为世界坐标系。
在Unity中创建的物体都是以全局坐标系中的坐标原点（0,0,0），来确定各自的位置的。
可以使用transform.position来获取游戏对象的世界坐标。
3. 局部坐标系
局部坐标系也称为模型坐标系或物体坐标系。
每个物体都有自身独立的物体坐标系，当物体移动或改变方向时，和该物体相关联的坐标系将随之移动或改变方向。
模型Mesh保存的顶点坐标均为局部坐标系下的坐标。
transform.localPosition（本地坐标）可以获得物体在父物体的局部坐标系中的位置点。
父子关系，子物体以父物体的坐标点为自身的坐标原点。
如果该游戏物体没有父物体，那么transform.localPosition获得的依然是该物体在全局坐标系中的坐标。
如果该物体有父物体，则获得的是在其父物体的局部坐标系下的坐标。
Inspector视图中显示的是localPosition的值。
4. 屏幕坐标系
屏幕坐标系是建立在屏幕上的二维坐标系。
以像素来定义的，屏幕的左下角为(0,0)，右上角为(Screen.width,Screen.height)，z轴的坐标是相机的世界坐标中z轴坐标的负值。
鼠标位置坐标属于屏幕坐标，通过Input.mousePosition可以获得该位置的坐标。
手指触摸屏幕也为屏幕坐标，Input.GetTouch(0).position可以获得单个手指触摸屏幕时手指的坐标。
5. 视口坐标系
视口坐标系是将Game视图的屏幕坐标系单位化，左下角（0,0），右上角（1,1）。z轴的坐标是相机的世界坐标中z轴坐标的负值。
6. 坐标系之间的关联与相互转换
（1）全局坐标系和局部坐标系
关联：
transform.Translate(translation:Vector3，relativeTo:Space=Space.Self);
沿着translation的方向移动 |translation| 的距离，其结果将应用到relativeTo坐标系中。如果relativeTo 为空，则默认为局部坐标系。
转换：
Transform.TransformPoint(Vector3 position): 将一个坐标点从局部坐标系转换到全局坐标系；
Transform.InverseTransformPoint(Vector3 position): 将坐标点从全局坐标系转换到局部坐标系；
Transform.TransformDirection(Vector3 direction): 将一个方向从局部坐标系转换到全局坐标系；
Transform.InverseTransformDirection(Vector3 direction): 将一个向量从局部坐标系转换到全局坐标系；
Transform.InverseTransformVector(Vector3 vector): 将一个向量从全局坐标系转换到局部坐标系。
其他：
Transform.forward, Transform.right, Transform.up: 当前物体的坐标系的z轴、x轴、y轴在世界坐标系上的指向；
Vector3.forward：（0,0,1）的缩写。在transform.Translate()中使用时，如果不表明坐标系，则为物体的局部坐标，即物体自身的正前方；
Vector3.right：（1,0,0）的缩写；
Vector3.up：（0,1,0）的缩写。
（2）屏幕坐标系与全局坐标系
转换：
Camera.ScreenToWorldPoint(Vector3 position): 将屏幕坐标转换为全局坐标；
Camera.WorldToScreenPoint(Vector3 position): 将全局坐标转换为屏幕坐标；
Input.mousePosition: 获得鼠标在屏幕坐标系中的坐标。
（3）屏幕坐标系与视口坐标系
转换：
Camera.ScreenToViewportPoint(Vector3 position)：将屏幕坐标转换为视口坐标；
Camera.ViewportToScreenPoint(Vector3 position)： 将视口坐标转换为屏幕坐标。
（4）全局坐标系与视口坐标系
转换：
Camera.WorldToViewportPoint(Vector3 position)：将全局坐标转换为视口坐标；
Camera.ViewportToWorldPoint(Vector3 position)：将视口坐标转换为全局坐标。
练习1：
答：世界坐标为：Position（3,2,5），Rotation(0,90,0)，Scale(1,1,1)
练习2：
答：
using UnityEngine;
public class Test : MonoBehaviour {
void Update () {
Vector3 viewPos = Camera.main.WorldToViewportPoint(transform.position);
if(viewPos.x<=1)
{
transform.Translate(new Vector3(2, 0, 0) * Time.deltaTime, Space.World);
}
}
}第三章：向量的基本概念
1. 向量的定义
在数学中，向量（也称为矢量），是指具有大小和方向的量。
向量的大小就是向量的长度，也叫做模。向量的方向描述了空间中向量的指向。
在数学中，书写向量时，通常用方括号将一列数括起来，如[1,2,3]。
水平书写的向量叫做行向量，垂直书写的向量叫做列向量。
上面的向量可以书写成列向量：
通常，我们用x,y来代表2D向量的分量，用x,y,z来代表3D向量的分量。
向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移。
0
2. 点和向量的关系
点（Point）：点中的数表示了一个位置，它没有大小、方向的概念。
在笛卡尔坐标系，我们可以使用2个或3个实数来表示一个点的坐标。
在2D空间中，用P=（Px,Py）来表示一个点的坐标。
在3D空间中，用P=（Px,Py,Pz）来表示一个点的坐标。
向量（Vector）：向量中的数表示了向量在每个维度上的有向位移。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向。线段长度：代表向量的大小。
在坐标系中，可以使用v=[x,y]来表示一个二维向量，用v=[x,y,z]来表示一个三维向量。
3. Unity中的点和向量
在Unity中，只有Vector2、Vector3类型，没有Point2、Point3类型。
Vector2类型可以用来表示2D向量和点。Vector3类型可以用来表示3D向量和点。
Transform.position表示一个点，即游戏物体在世界坐标系中的点。
Transform.forward表示一个向量，即当前物体的物体坐标系的z轴在世界坐标系上的指向。
在Unity中，点和向量都是以(x,y,z)的形式表示。
当我们想让游戏物体处于某个位置时，我们可以使用Vector3类型来表示这个点的位置坐标。
当我们想让游戏物体沿着某个方向以一定的速度移动时，我们可以使用Vector3类型来表示速度的向量值，即速度的大小和方向。
当我们想计算2个游戏物体之间的距离时，实际上计算的就是以这2个物体为起点和终点的向量的长度。
练习1：
一个向量的长度为4，它的起点A的坐标为(1,0)，终点B的坐标(x,0)，求x的值，并写出这个向量。
答：
练习2：
实现功能：让一个游戏物体匀速移动到另一个游戏物体所在的位置。
第四章：向量运算
1. 零向量
零向量是非常特殊的一个向量，它是唯一一个大小为0的向量，也是唯一一个没有方向的向量。
2D零向量表示为(0,0)，3D零向量表示为（0,0,0）。
在Unity中，用Vector3.zero来表示3D零向量。
2. 负向量
每个向量都有一个负向量，满足条件：一个向量和它的负向量相加等于零向量。
向量变负，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量。
（2，-3，3）的负向量为（-2，3，-3）。即 将向量的每个分量都变负。
3. 向量的长度
向量的长度即向量的大小或者向量的模。
向量的大小就是向量各分量平方和的平方根。
对2D向量而言，可以构造一个以该向量为斜边，以x,y分量的绝对值为直角边的直角三角形。可以根据勾股定理得到斜边的长度，即向量的长度。
2D向量的长度：
3D向量的长度：
在Unity中，可以通过Vector3.magnitude计算向量的长度。Vector3.sqrMagnitude则返回向量长度的平方。
Vector3.Distance(A,B)可以计算2个点A,B之间的距离，即返回向量AB或向量BA的长度。等同于(B-A).magnitude或 (A-B).magnitude。
4. 向量与标量的乘法/除法
向量与标量的乘法，即 将向量的每个分量分别与标量相乘。
3D向量与标量相乘：3（1,2,3）=（3,6,9）
向量与非零标量的除法，即 乘以该标量的倒数。
3D向量与标量相除：1/3（3,6,9）=(1,2,3)
Unity中使用运算符 * 来计算与标量的乘法，用运算符 / 来计算与标量的除法。
5. 单位向量
单位向量也叫作标准化向量，就是大小为1的向量。
在只关心向量方向，不关心向量大小时，可以使用单位向量，例如求一个面的法线向量时。
对任意的非零向量，我们都可以计算出它的单位向量，即 将其归一化（normalization）。
向量的归一化：求得向量的长度后，用向量除以它的长度。
如：(4,3)归一化后的单位向量为：
在Unity中，可以使用Vector3.Normalize来归一化向量。使用Vector3.normalized来获得归一化后的单位向量。
6. 向量的加法/减法
只有在两个向量的维度相同时，才可以相加或相减。
向量的加法和减法，即 将向量的各个分量相加或相减。
（1,3）+（2,5）=（1+2,3+5）=(3,8)；
（1,3）+（2,5）=（1-2,3-5）=（-1,-2）；
向量的加法满足交换律：a+b=b+a；
向量的减法则不满足交换律：a-b=-(b-a)；
向量的加法可以理解成平移向量。
向量的减法可以理解成平移负向量。
Unity中，使用运算符 + 来计算向量的加法。使用运算符 - 来计算向量的减法。
7. 向量的点积
向量与向量的乘法有两种不同的形式，第一种是向量的点积，也叫做向量的内积。
表示为a·b，点不可以省略。
计算时，向量的点积就是对应分量乘积的和，结果为一个标量。
点积的计算公式为 a·b=(ax,ay)·(bx,by)=axbx+ayby；
(0,2) · (3,3)=0 x 3 + 2 x 3 = 0 + 6 = 6；
向量的点积满足交换律，即a·b=b·a 。
点积的第二种计算方法，则是通过两个向量之间的夹角的cos值。
a·b=|a||b|cosθ，θ是向量a和向量b的夹角；
a=(0,2)，b=(3,3)，两个向量的夹角为45度，则a和b的点积为：
点乘的结果越大，两向量越相近。通常也被用来求两个向量之间夹角的大小。
可以通过向量的点积的结果的符号来判断两个向量的位置关系：
（1）如果值大于0，则夹角在0度到90度之间（不包含90度），两个向量的方向基本相同；
（2）如果值等于0，则夹角为90度，两个向量的方向相互垂直；
（3）如果值小于0，则夹角在90度到180度之间（不包含90度），两个向量的方向基本相反。
还可以用来求得一个向量在另一个向量上的投影：
（1）向量b在向量a上的投影的长度可以表示为：
（2）向量b在向量a上的投影可以表示为：
在Unity中，向量的点积可以通过Vector3.Dot来计算。
可以使用Vector3.Angle来获得两个向量之间的夹角的大小。结果在0度到180度之间。
8. 向量的叉积
两个向量相乘的第二种方式为向量的叉积，也叫做向量的外积。
表示为a x b，同样，x 也不可以省略。
叉积的结果仍是一个向量。
叉积仅可应用于3D向量。
叉积的计算公式为：
a×b=(ax,ay,az)×(bx,by,bz)=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)
(1,2,3)×(-2,-2,3)=(6-(-6),(-6)-3,(-2)+4)=(12,-9,2)
叉积得到的向量垂直于原来的两个向量。
a=(1,2,3),b=(-2,-2,3),a×b=(12,-9,2)。
a·(a×b)=0,b·(a×b)=0。
a×b的长度等于向量的大小与向量夹角的sin值的积，即
也是以a和b为两边的平行四边形的面积的大小。
我们可以通过向量的叉积来得到一个平面的法向量。
还可以通过向量的叉积得到的结果向量的方向来判断向量b是在向量a的顺时针方向还是逆时针方向。
在Unity中，向量的叉积可以通过Vector3.Cross来计算。
练习1：向量(1,1)是单位向量吗？如果不是的话，将它归一化。
答：不是，归一化为：（根号2/2,根号2/2）；
练习2：计算点(-1,3,2)与点(-2,3,-1)之间的距离。
答：根号10
练习3：已知向量a的长度为2，向量b的长度为3，他们之间的夹角为60度。求a和b的点积和叉积的长度。
答：a·b=|a||b|cosθ=2x3xcos 60=3; axb=|a| |b| sinθ=2x3x sin 60=3x根号3
练习4：已知Unity中有2个向量a=(1,2,3),b=(-2,-2,3)，请问b在a的顺时针方向还是逆时针方向？
答：
第五章：矩阵
1. 矩阵的定义
在数学中，矩阵是一个按照厂方阵排列的复数或实数的集合。
向量的维度是看向量有几个分量。矩阵的维度则是看它有几行、几列。一个r x c 矩阵有r行，列。即2x3矩阵有2行3列。3x2矩阵有3行2列。
在一个m x n的矩阵A中，有m x n个数，这些数称为矩阵A的元素。数aij 位于矩阵的第i行，第j列，称为矩阵A的（i,j）元。
矩阵中元素的下标是从1开始的。
在Unity中，可以使用Matrix4x4.SetRow和Matrix4x4.SetColumn来设置一个4x4矩阵的某行或某列；
在Unity中，可以使用Matrix4x4.GetRow和Matrix4x4.GetColumn来获取一个4x4矩阵的某行或某列。结果为Vector4类型。
这里的index是从0开始。
2. 矩阵和矩阵的加法、减法
只有维度相同的矩阵，才可以相加相减。
矩阵和矩阵的相加/相减，即 矩阵各相同位置的元素相加/相减。
3. 矩阵和标量的乘法
矩阵和标量相乘，得到的仍然是一个相同维度的矩阵。矩阵和标量的乘法，即 矩阵的每个元素和该标量相乘。
4. 矩阵和向量的乘法
向量可以被当做一行或者一列的矩阵。3维向量可以看作是3x1矩阵，或者是1x3矩阵。
矩阵和矩阵相乘时，只有满足第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等的条件时，才可以相乘。即rxn矩阵，才能和nxc矩阵相乘，得到的结果是一个rxc矩阵。
所以，向量与矩阵相乘时，行向量需要在左边，列向量需要在右边。
矩阵和向量相乘的结果向量中，每个元素都是原向量和矩阵中单独行或者列的点积。
5. 矩阵和矩阵的乘法
两个矩阵相乘的规则和矩阵和向量相乘的规则相同。
矩阵A和矩阵B相乘，得到的矩阵C中的任意元素Cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的点乘结果。
在Unity中，可以使用Matrix4x4.operator*来进行 矩阵和矩阵的乘法运算。
6. 特殊矩阵
方块矩阵：行数和列数相等的矩阵被称为方块矩阵。
方块矩阵中，行号和列号相等的元素叫对角元素。
如果一个矩阵除了对角元素外的所有的元素都为0，那么这个矩阵叫做对角矩阵。
如果对角矩阵中的对角元素都是1，则这个对角矩阵被称为单位矩阵。
用任意一个矩阵乘以单位矩阵，都将得到原矩阵。
在Unity中，可以通过Matrix4x4.identity来获得一个4x4的单位矩阵。
在Unity中，可以通过Matrix4x4.isIdentity来判断一个矩阵是不是单位矩阵。
在Unity中，可以通过Matrix4x4.zero获得一个4x4的所有元素都为0的矩阵。
转置矩阵是对原矩阵进行转置运算后得到的矩阵。
一个rxc的矩阵转置后，可以得到一个cxr的矩阵。转置运算，即 将原矩阵的第i行变为第i列，第j列变成第j行，也可以看作是沿着对角线翻折。
在Unity中，可以通过Matrix4x4.transpose获取一个矩阵的转置矩阵。
逆矩阵，只有方块矩阵才可能有逆矩阵，因为一个矩阵A和它的逆矩阵B需要满足条件：AB=I(I是单位矩阵)。
如果一个矩阵有相应的逆矩阵，则可以说这个矩阵是可逆的，或者说是非奇异的。如果一个矩阵没有相应的逆矩阵，则可以说这个矩阵是不可逆的，或者说是奇异的。
判断一个矩阵是否是可逆的，需要求得矩阵的行列式，如果它的行列式不为0，那么他就是可逆的。
二阶行列式的计算方法为对角线相乘相减。
三阶行列式的计算方法可以使用代数余子法，即 行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素，剩下的元素按原样排列，得到的新行列式。
行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积。
一个4x4的矩阵的逆矩阵的求解方法如下：
在Unity中，可以通过Matrix4x4.inverse来获取一个4x4矩阵的逆矩阵。
练习1：判断下列运算是否合理，合理的话计算结果。
（1）
（2） 
练习2：已知矩阵A，(1)求矩阵A的转置矩阵，(2)如果A有逆矩阵的话，求A的逆矩阵。
A=
第六章：变换
1. 齐次坐标
齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系数，如同用于欧氏几何里的笛卡尔坐标一般。
齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射几何变换。
(x,y,z) → (x,y,z,1)
一个标准的空间直角坐标系的基向量是a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1)。原点为O。
我们可以使用基向量a,b,c来表示坐标系中任意一个向量v(vx,vy,vz)的坐标：v=vxa+vyb+vzc。
用基向量来表示坐标系中的任意一个点的位置，则需要考虑原点的位置，所以一个点P（px,py,pz）的坐标可以表示为：P=pxa+pyb+pzc+O。
用矩阵的形式来表示的话，可以表示为：
我们的3D坐标系可以表示为：
点的齐次坐标表示：（x,y,z,1）
向量的齐次坐标表示：（x,y,z,0）
所以，我们可以用齐次坐标去进行点和向量之间的运算：
点与点之间的减法，可以得到一个向量。
向量和向量之间的加减，还是得到一个向量。
点和向量之间的加法，可以得到一个移动了向量距离之后的点。
仿射变换=线性变换+平移。
线性变换：从代数上，是指可以保留矢量加和标量乘的变换。需要满足下面的2个条件。
从几何的角度上去理解，需要满足：
（1）变换前是直线的，变换后依然是直线。
（2）直线比例保持不变。
（3）变换前是原点的，变换后依然是原点。
旋转和缩放属于线性变换，但是平移不属于线性变换。
仿射变换，从几何的角度去理解，需要满足：
（1）变换前是直线的，变换后依然是直线。
（2）直线比例保持不变。
所以，平移、旋转、缩放都属于仿射变换。
仿射变换可以用矩阵和向量相乘的方式来表示。计算一个点或者一个向量，经过平移、旋转、缩放等仿射变换后的值。
一个三维的变换可以表示为：
2. 2D变换
2D平移矩阵
将一个点P平移（tx,ty）单位到点P'
2D缩放矩阵
将一个点或者向量进行缩放
2D旋转矩阵
将一个点进行旋转
变换矩阵的逆矩阵
平移矩阵的逆矩阵：
缩放矩阵的逆矩阵：
旋转矩阵的逆矩阵：
物体变换和坐标系变换：
物体变换： 
坐标系变换：
复合变换：我们可以把平移、旋转、缩放结合起来，形成一个复杂的变换过程。
矩阵乘法不满足交换律，所以不同的变换顺序得到的结果可能是不一样的。
比如，我们想移动t向量，再旋转θ角度，则点的位置变为
物体的复合变换：
坐标系的复合变换：
3. 3D变换
3D平移矩阵：
3D缩放矩阵：
3D旋转矩阵：
4. Unity中的变换
在Unity中，我们可以使用Matrix4x4.Translate创建一个平移矩阵。
在Unity中，我们可以使用Matrix4x4.Rotate创建一个旋转矩阵。
在Unity中，我们可以使用Matrix4x4.Scale创建一个缩放矩阵。
在Unity中，我们可以使用Matrix4x4.TRS创建一个移动、旋转、缩放的复合矩阵。
在Unity中，我们可以使用Matrix4x4.MultiplyPoint或者Matrix4x4.MultiplyPoint3x4来变换一个点。
在Unity中，我们可以使用Matrix4x4.MultiplyVector来变换一个向量。
练习1：
将一个游戏物体先进行大小为(2,3,3)的缩放，再绕y轴旋转60度，最后再移动(-1,2,5)个单位，写出这个复合变换的变换矩阵(不用计算)。