数学建模笔记——相关系数

今天写一个比较简单也比较常用的内容——相关系数。

相关系数，并不是一个陌生的概念，因为高中的时候好像就学过了。只不过那个时候没有讲太深入，当然啦，我这篇笔记也不会讲得多深入，能力达不到嘛。理解一下，会用就好。

相关系数，其实就是衡量两个变量之间相关性的大小的指标，常用的相关系数有两种，一种是pearson相关系数，也就是《概率论与数理统计》这本书里提到的，平时最为常用的相关系数。另一种称之为spearman相关系数，我也是在清风老师的课中第一次听说，它衡量的是两个变量的依赖性，唔，也可以理解为单调性啦。接下来我就介绍一下我学到的内容吧~

相关概念引入

总体与样本

总体与样本是初等统计学中最为基本的概念之一。在统计学中，我们时常要对一些对象，人，事，物等进行观察研究，希望发现它们运动变化过程中的一些内在的规律。但是，出于各种条件的限制，我们往往很难我们感兴趣的群体的全部信息。例如，我们想要知道中国大学生的每月平均消费水平，理想状态下，我们首先应该知道中国所有大学生每个人的平均月消费，再加总起来除以人数。但想想就知道，除非付出极大的代价，否则不可能获取到每一个人的花费信息。

但实际上，我们也没有太大必要进行这种普查性质的活动。我们可以首先根据地理位置或者其他指标选定一些学校，作为我们进行调查的学校。之后在这些学校里，我们又可以按照某种指标，或者尽可能多得选择一些学生进行询问。这样，我们就获得了研究对象中一部分学生的消费信息，之后就可以计算这部分学生的平均月消费，并且将它视为全部大学生的平均月消费。

在上面这个例子中，总体就是我们感兴趣的研究对象全体，也就是全中国的大学生。样本就是我们最后真正得到信息的那部分学生。而从总体中获得样本的过程，就称之为抽样。hhh这些高中应该都学过，简单说一下。

为什么要进行抽样获得样本呢？就是因为总体数据的获取过于困难，我们只好退而求其次，选择一个可以代表总体的样本，用这个样本的相关统计量，相关规律等来推测总体的相关统计量以及规律。 那为什么可以用样本的性质来代表或者推测总体的性质呢？这个我也不太清楚，因为大家都默认是这样的。

简单理解一下，个体的某些性质，我们是不好揣测的，特别是有些个体，本身就有较大的波动。所以观察个体的数据，我们很难得到什么一般性的结论。但许多个个体聚在一起，他们的行为，性质等可能会表现出某种同步性，或者说规律性。个体是特殊的，但总体中的个体又是普通的，统计学想要发掘的，大概就是个体中存在的共性。这种共性，或者说规律本身是固定的，观察数量的多少，主要决定着对这种规律的反映程度。数量越多，规律自然会更清晰更直观。因此，样本相对于总体，其区别可能就是对规律或者共性的反映清晰度不同，但本质上是一样的。那么，用样本估计总体或者代替总体，就无可厚非了。（以上全是瞎扯）

描述性统计

简单介绍一下样本的描述性统计。所谓描述性统计，就是通过表格，图形等手段从各个方面对数据进行展示的过程。其主要作用就是从总体上看一看数据变量的特征、分布、变化趋势等等。

简单的描述性统计主要有两个内容，一是对数据变量进行五数概括，看一看变量的位置分布；另一个就是展示一下数据变量的均值与方差。除此之外，出于美观以及方便的需要，我们还会把数据进行可视化操作，以更好地进行展示。

五数概括，就是指出变量数据的最小值、最大值、第一四分位数、中位数以及第三四分位数。很简单，首先把数据从小到大进行排序，第一个就是最小值，最后一个就是最大值，处于最中间位置的便是中位数的值了。对中位数左边的数据（除去中位数）计算中位数，即第一四分位数；对中位数右边的数据（除去中位数）计算中位数，即第三四分位数。如果进行比较明确的定义，数据变量的分位数代表着。那四分位数，其实也就是分别为25%，50%，75%的情况了。再加上最大值和最小值，便是所谓的五数了。

五数概括的目的在于描述变量的分布，观察变量的总体情况。相对于平均数或者中位数这种单一指标，五数概括包含的信息就更加充分了。

之后就是均值方差描述了。其中均值衡量的是样本数据的平均程度，就是常说的平均值，方差描述的是数据的分散程度。这两个统计量也是高中就学过的内容，均值样本的均值的观测值便是方差的公式是不过这是总体数据的方差，样本方差之所以样本方差是除以而不是，是为了满足方差估计的无偏性，这个以后有机会再说。当然，在大样本的情况下，除以还是区别不大，不过一般情况下，还是除以比较合适。

对于五数概括，matlab好像没有比较直接的函数，所以我们可以通过箱形图来看看它的五数。所谓箱形图，就是下方这种图。

最下方和最上方的黑色横线位置分别代表最大值和最小值。箱体的下方蓝线为第一四分位数，箱体的上方为第三四分位数，箱体中间的红线即为中位数。由于这是由均匀分布生成的数据，因此中位数好像就在正中央，但一般情况下并非如此。

如果想要查看四分位数或者中位数，直接点击相应的线就好了，matlab会自动显示出来。由上图我们可以看到，50%的数据都在40一下，而25%的数据都在100以上，这便可以理解为一个代表着“贫富差距”的箱型图了。

至于均值和方差，matlab中使用mean函数求均值，std函数求标准差（方差的平方根），var函数求方差，比较简单，此处不表。

x=rand(100,1);
figure(1)
boxplot(x)
figure(2)

y=[21.0 21.0 22.8 21.4 18.7 18.1 14.3 24.4 22.8 19.2 17.8 16.4 17.3 15.2 10.4 10.4 14.7 32.4 30.4 33.9 21.5 15.5 15.2 13.3 19.2 27.3 26.0 30.4 15.8 19.7 15.0 21.4];
boxplot(y)
hold on
z=[1 2 3 4 111 112 112 122 89 34  36 31 57 14 36 124 57 124 7];
figure(3)
boxplot(z)

mean_z =mean(z)  %均值
var_z=var(z)  %方差
std_z=std(z)  %标准差

Pearson相关系数

好的，现在介绍一下Pearson相关系数。

总体Pearson相关系数

顾名思义，就是总体数据的相关系数。如果两组数据和是总体数据，那么总体均值总体的协方差为

总体的方差为
则我们定义总体的Pearson系数

上式中的协方差，简单来说，衡量的是两个变量之间的变化趋势。如果两个变量的变化趋势一致，即变大也变大或者变小也变小，即使某些时候一个大于均值一个小于均值，乘积可能为负数，但总的来看，协方差应该为正。反之，若两个变量变化趋势相反，则协方差应该为负数。如果两个变量的变化没有关系，则时正时负，最后很可能正负相抵，使得协方差趋于0。

那Pearson相关系数呢？其实就是两个变量的协方差除以它们的标准差，可以将其理解为对进行标准化，剔除了量纲影响的协方差。因为标准差反映的就是数据的波动程度，由于量纲不同，所以波动程度有大有小。而除以标准差之后，就相当于消灭了各自的波动程度，更加纯粹地反映出变量之间的变化关系。

唔，我可能解释的不是很好，知乎上有一个问题，大家可以去看一看，再理解一下。
[如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念？ - 知乎]（https://www.zhihu.com/question/20852004）

样本相关系数

其实差不多，计算公式还是一样的，但是在具体的样本协方差，样本方差计算上，有一些小的差别。样本均值

总体的协方差

总体的方差
则我们定义总体的Pearson系数

相关系数的性质

我们需要了解一些相关系数的性质以更好地使用它。

性质一说明，相关系数介于之间（可以自己证明），其数值定量地刻画了和的相关程度，即越大，两者的相关程度越大，时，两者的相关程度最低。（注意，这里的相关程度指的是线性相关程度，这一点后面会再提到）一般而言，若，我们称之为强相关，，可以称之为中等相关，称之为弱相关。当然啦，实际上并没有精确的标准，反正相关系数绝对值越大越相关。

同时，如果，则我们认为两者是正相关关系，即你变大我也变大，如果,我们认为两者是负相关关系，即你变大我变小。

性质二则指出，如果与之间存在严格的线性关系，则。如果的值十分接近于，我们也可以认为二者具有较强的线性相关性了。

注意

在使用相关系数的时候，有几个需要注意的点。

首先，相关系数刻画的是线性相关关系，也就是用来衡量两个变量线性相关程度的指标。如果你想使用相关系数来说明它们之间的相关程度，就必须得通过画散点图等手段，确认这两个变量是具有一定的线性相关性的。嗯，记住，相关系数只能说明线性相关程度。如果两个变量之间具有某种二次或者指数关系，它们仍然是具有相关性的，只是线性相关程度可能比较低罢了。所以千万不要看到相关系数很小就认为二者不相关，事实上只是线性不相关。

第二点，即使相关系数很大，也不一定真的线性相关。如下图。因此，一定一定一定一定记得画出散点图啊，不要凭借一个相关系数就说它们相关不相关了（血与泪的教训呜呜呜呜呜呜）

举个例子

直接用matlab计算相关系数矩阵就好啦~将数据导入之后，一行代码搞定。

R = corrcoef(Test)   % correlation coefficient

结果如下

我们可以在excel中用色阶美化一下，当然如果使用Python或者R语言会有很好用的第三方库或者包直接生成美观的相关系数矩阵。

其实也不是很美，但颜色深浅可以表达出相关系数的大小，很直观。之后有机会我再介绍一下如何用Python或者Excel生成好看的图表。

如果想要计算两个向量的相关系数，也是一行代码搞定。

x=corrcoef(Test(:,1),Test(:,2))

唔，结果也是一个矩阵，不过可以直接看出来相关系数啦。

对Pearson相关系数进行假设检验

其实在上统计这门课的时候，印象中我没有见到过对相关系数进行假设检验，更多的是对均值、方差、比例等进行假设检验。不过清风老师的课中提到了这部分，我也就简单介绍一下步骤，具体的原理我觉得还是需要认真学习统计这门课才行。这里不做过多展开。说到这里，大家可以试试在公众号后台发送数学建模文章的名字，有惊喜呀。

首先说一下什么是假设检验。原理其实比较简单：我们假设某个命题是正确的，在这个假设正确的前提下，事件A是一个小概率事件。我们知道，在一次实验中小概率事件几乎不可能发生。所以，如果我们在一次试验中观察到事件A竟然发生了，就有足够的理由怀疑这一假设的正确性，从而否定该假设；反正，如果在一次试验中事件A并没有发生，我们就无法否定原假设，只能转而支持原假设了。（虽然无法否定原假设并不代表原假设就是正确的，但是在假设检验的框架下，我们认为无法否定就要支持）

我们将设为正确的假设，称之为原假设，同时我们提出一个与之互斥的假设，称之为备择假设。之后，我们需要寻找到一个事件A，需要满足该事件在原假设为真的情况下是一个小概率事件，一般而言我们是通过构造服从某种分布的统计量来完成。再者，对于给定的显著性水平，构造拒绝域，将样本数据代入我们找到的统计量中，判断是否在拒绝域内。是的话就说明小概率事件发生了，拒绝原假设，支持备择假设。否则就支持原假设。

上面可能就是构造拒绝域那里不太清楚，这里就不讲了，有机会还会提到。一般而言，我们反而不用拒绝域，用的是值。所谓值，就是在为真的情况下，所得到的样本结果会像实际观察值结果那么极端甚至更极端的概率。

也就是说，我们把题目提供的样本，当成一次实验的结果。在为真的情况下，如果我们再次进行抽样，还会得到一个样本结果，同时在抽样之前，存在着一个概率，即抽出来的样本的结果比题目给的样本的结果更加极端，也就是更加不符合原假设的概率。

如果这个概率很小，例如只有0.001，大概意味着重复1000次实验，才会出现题目中样本的结果或者比它更极端的结果，那么我们认为小概率事件发生了，需要否定原假设。如果这个概率是0.2，那么100次实验中，有20次都会出现题目中样本的结果甚至更加极端的结果，这并不能算是小概率事件发生了，因此我们无法拒绝原假设，转而需要拒绝备注假设，支持原假设。

啊这部分确实就是比较难理解，如果不太懂也可以看看教科书以及知乎的一些回答，可能某一天就突然懂了。

欧克，针对相关系数的假设检验，我们提出的原假设，备择假设，也就是检验相关系数等于0的显著性。如果检验后原假设为真，意味着我们求出的相关系数跟0没什么差距，也就意味着那两个变量在一定显著性水平下是线性不相关的。

之后我们构造统计量，这里构造的是分布统计量，，该统计量是自由度为的分布。至于为什么构造的是这个统计量，大家自行查阅，有机会会详细说一说。

在然后就是计算值，大概的形式是，其中就是抽样可能得到的样本的结果，是当前样本，即题目给定样本的结果，如果，说明在的置信水平上拒绝原假设，如果，说明在的水平上拒绝原假设，如果，说明在的水平上拒绝原假设。反之，则在相应的置信水平上接受原假设。所谓置信水平可以简单理解为拒绝原假设的程度，具体的还是自行查阅啦~

用matlab就简单多了，corrcoef函数不仅可以返回相关系数，还可以返回值，如下。

[R,P] = corrcoef(Test)
% 在EXCEL表格中给数据右上角标上显著性符号吧
P < 0.01  % 标记3颗星的位置，意味着置信水平是99%
(P < 0.05) .* (P > 0.01)  % 标记2颗星的位置，意味着置信水平是95%
(P < 0.1) .* (P > 0.05) % % 标记1颗星的位置，意味着置信水平是95%

之后我们在原先的结果上标出相应的显著性水平，标记3颗星的位置，意味着置信水平是99%，标记2颗星的位置，意味着置信水平是95%，标记1颗星的位置，意味着置信水平是95%。显著性水平=1-置信水平，这里代表着相关系数显著为0的显著性。则置信水平越高，显著性越低，越不可能为0。

可以发现，那几个显著不为0的相关系数绝对值都不＞0.8，说明这几项指标两两之间并没有明显的线性关系。

事实上，对相关系数进行假设检验，还要求相关的指标变量一定程度上服从正态分布。对于大样本（n>30），我们使用JB检验，原假设是服从正态，备择假设是不服从正态，之后调用matlab的jbtest函数。

[h,p] = jbtest(Test(:,1),0.05)
[h,p] = jbtest(Test(:,1),0.01)

% 用循环检验所有列的数据
n_c = size(Test,2);  % number of column 数据的列数
H = zeros(1,6);  % 初始化节省时间和消耗
P = zeros(1,6);
for i = 1:n_c
    [h,p] = jbtest(Test(:,i),0.05);
    H(i)=h;
    P(i)=p;
end
disp(H)
disp(P)

对于小样本，可以使用检验，SPSS上面有。

喵这里就先不讲spss的具体操作了，需要录个简单的视频，最近没什么时间。等有空的时候我录屏演示一下。

好的，Pearson相关系数就说到这里。

spearman相关系数

定义与是两组数据，其spearman相关系数为其中，为和之间的等级差。

一个数的等级，就是将它所在的一列数按照从小到大排序后，这个数所在的位置，如果有的数值相同，则将它们所在的位置取算术平均。

上述公式就算得到。

另一种spearman相关系数，被定义为等级之间的Pearson相关系数，也就是上图中的等级和的等级那两列数据的相关系数。两种定义得到的spearman系数存在一定的差别。在Matlab中，计算spearman系数使用的是第二种定义方式。

%% 斯皮尔曼相关系数
X = [3 8 4 7 2]'  % 一定要是列向量哦，一撇'表示求转置
Y = [5 10 9 10 6]'
% 第一种计算方法
1-6*(1+0.25+0.25+1)/5/24

% 第二种计算方法
coeff = corr(X , Y , 'type' , 'Spearman')
% 等价于：
RX = [2 5 3 4 1]
RY = [1 4.5 3 4.5 2]
R = corrcoef(RX,RY)

% 计算矩阵各列的斯皮尔曼相关系数
R = corr(Test, 'type' , 'Spearman')

spearman相关系数也需要假设检验，原假设也是，我们可以直接用matlab求出相应的值。

% 直接给出相关系数和p值
[R,P]=corr(Test, 'type' , 'Spearman')

斯皮尔曼相关系数表明 (独立变量) 和 (依赖变量)的相关方向，位于之间。如果当增加时，趋向于增加，斯皮尔曼相关系数则为正。如果当增加时，趋向于减少，斯皮尔曼相关系数则为负。斯皮尔曼相关系数为零表明当增加时没有任何趋向性。当 和越来越接近完全的单调相关时，斯皮尔曼相关系数会在绝对值上增加。当和完全单调相关时，斯皮尔曼相关系数的绝对值为 1。完全的单调递增关系意味着任意两对数据和，有 和总是同号。完全的单调递减关系意味着任意两对数据和，有 和总是异号。

嗯，spearman相关系数相对而言用的不是特别多，这里不做过多展开。

总结

以上就是相关系数我学到的全部内容啦，到这里已经写了四个小时了……其实是个很简单的话题，认真学也就一小时就大概搞懂了，没想到写起来这么费劲qwq。最后用一张清风老师的课件进行总结吧。如果本文对你有帮助的话，帮忙点个赞呗qwq。