高中奥数 2021-09-21

2021-09-21-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P046 习题17）

设为锐角的垂心,为边的中点,过点的直线分别交边、于点、,使得,射线与的外接圆交于点.求证:、、、四点共圆.(2009中国西部数学奥林匹克)

证明

如图,延长至点,使,连结、、、.

图1

因为为边的中点,所以,四边形为平行四边形.

于是,(这里用到垂心、四点共圆),即.

因此,点在的外接圆上.

连结、、、.

因,为的垂心,所以(1),.(2)

综合式(1)、(2)知.

由四边形是平四边形知,.

于是,.(3)

又为边的中点,则.

故.

由,得.(4)

结合(3)、(4)知.

因为,所以,.

于是,.

从而,、、、四点共圆

2021-09-21-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P046 习题18）

已知圆与圆交于、两点,、为圆上不同于、的两个点,直线、分别交圆于、,直线和交于点.证明:当点和点变化时的外心总在一个定圆周上.

图2

证明

因为,则、、、四点共圆.

图3

设是的外心,、分别为圆和圆的圆心,则.

同理,.

所以,.

因此,的外心总在一个过、和的定圆上.

2021-09-21-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P046 习题19）

两圆外切于点且内切另一圆于点、.令是小圆内公切线割的弦的中点.证明:当点、、不共线时,是的内心.

证明

先证明一个引理:

如图,与弓形相切于点、.则平分.

图4

引理的证明:

过作切线与交于.

则由,均为的切线知,且.

注意到,.

引理得证回到原题(这里的字母与上述引理字母表示不相同.)

设、与分别相交于点,.

连结,,,,,,,.

图5

由于与弓形相切,由上述引理知平分.

从而是优弧的中点.

同理是劣弧的中点.

而是的中点.故,,,四点共线,;.

从而、、、及、、、分别四点共圆.

再注意到、、、也四点共圆.

因此,.

即.

同理.

所以是的内心.