高中奥数 2021-07-06

2021-07-06-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P80 例1）

已知、、为非空整数集合,且对于、、的任意一个排列、、,若,,则.

(1)证明:、、三个集合中至少有两个相等;

(2)这三个集合中是否可能有两个集合无公共元素?

证明

(1)由已知,若,,则

所以每个集合中均有非负元素.

当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立.

否则,设、、中的最小正元素为,不妨设.设为、中最小的非负元素,不妨设,则.

若,则,与的取法矛盾.所以.

任取,因,故,所以.同理故.

(2)可能.例如、显然满足条件,但和与都无公共元素.

2021-07-06-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P81 例2）

设元集合的某些三元子集组成集合,且中每两个元素(子集)之间至多有个公共元素.试证:存在集合,使得,且中的任何元素都不是的子集.

分析

依题设的三元子集族显然没有包含的全部三元子集,故存在的不包含中任何元素(的三元子集)的子集,毫无疑问应选取其中元素最多者来做.

证明

设在的不包含中任何元素的子集中,是元素数目最多的一个,.对于每个,中必包含中的一个元素,否则与的最大性矛盾.

设,,则与分别包含中的元素和.显然.按已知,二者至多有个公共元素,所以相应的中的两个二元子集也不同,即

这样一来,我们就定义了一个由到的所有二元子集组成的集合的单射:

从而有

因为,所以.

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（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P81 例3）

某地区网球俱乐部的名成员举行场单打比赛,每人至少上场一次求证:必有六场比赛,其个参赛者各不相同.

证明

记参加第场比赛的选手为,并记.

设为的一个子集.如果中所含选手对中出现的选手互不相同,则称为的一个“好”子集.

显然,这样的“好”子集只有有限个,其中必有一个元素最多的,设这个元素最多的“好”子集为,它的元素个数为,显然只需证明.

如果,由于是元素个数最多的“好”子集,所以在中未出现过的名选手之间互相没有比赛,否则与的最大性矛盾.这就意味着,这名选手所参加的比赛一定是同前名选手进行的.

由于每名选手至少参加一场比赛,所以除了中的场比赛之外,至少还要进行场比赛.因此,总比赛场数至少为

与总比赛场次为场矛盾.

于是.