样本标准差分母为什么是n-1

当我们对数据总体进行统计时，由于每一个数据都被使用到,所以计算得到的标准差和方差是能够准确体现整个数据集特征的。而当从总体中提取出某个样本时，该样本当中的数据在一定程度上会集中在某个范围之中，由此计算出来的标准差和方差不能准确体现出数据总体的情况，通常来说得到的结果会比总体的要小。

举一个例子，如果一个数据集满足高斯分布（Normal Distribution），那当我们提取样本的时候，数据基本上会集中在中间的部分，而边缘值的数目可能会比较少，所以最后得到的样本方差和样本标准差会比总体要小。

为了修正这个偏差，在计算样本的方差和标准差时，我们将使用 n-1 代替 n。这样处理后最直接的结果是，公式中的分母变小，得到的结果将会变大，能够更加准确地通过该样本预测总体的情况。

对于一个随机变量X进行n次抽样，获得样本，那么样本均值为

有偏样本方差为：

无偏样本方差为：

先声明一下期望的两个重要属性：

定义一个公式：

那么:

设：

对于证明，我还需要样本平均值平方的期望值：

在继续之前，我可以找到平均值的期望值和平均值的方差的表达式：

期望值运算符是线性的：

同理：

那么：

又：

前面已经得到：

我们知道：

我使用前面的结果表明，除以n-1可以提供无偏估计：

样本方差的期望值等于无偏估计的总体方差。