【高等数学】微分中值定理

（三）微分中值定理

1. 连续函数的介值定理
2. 费马定理
3. 罗尔中值定理
4. 拉格朗日中值定理及其三个推论
5. 柯西中值定理

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从这里开始就有难度了，尤其是对于一些证明题

1、连续函数的介值定理

这个是第一章，讲连续这个概念的时候提到的一个定理，它对于微分中值定理的证明和理解很重要，我觉得有必要“旧事重提”一下

介值定理：一个函数在区间[a,b]上连续，那么它就能取到f(a)和f(b)之间的所有实数值。

2、费马定理

费马定理：f(x)函数在$x_0$处可导，并且$x_0$是f(x)的一个极值点，那么$f^{\prime }(x_0)=0$

证明：

* 利用导数的定义和极值点的定义就能推导出结论 

注意：费马定理是一个必要条件，也就是说，在知道是极值点并且在该点可导的情况下，能得出$f^{\prime }(x_0)=0$；但反过来，知道$f^{\prime }(x_0)=0$和可导，不能判断这个点就是极值点，比如$y=x^3$

3、罗尔中值定理

1. 在[a,b]连续
2. 在(a,b)可导
3. f(a)=f(b)

以上三个条件都满足，可推出：$\exists \xi \in (a,b),f^{\prime }(\xi )=0$

证明：

* 情况1：最大值和最小值相等
* 情况2：最大值和最小值不相等 -> 至少有一个最值不在端点取得，那么该点横坐标是一个可导的极值点 -> 费马定理

• 罗氏定理又称为导函数方程f’(x)=0根的存在性定理
• 通常题目是证明一个乱七八糟的方程有解，本质上就是根据这个乱七八糟的方程配凑出一个原函数满足罗氏定理

4、拉格朗日中值定理

1. 在[a,b]连续
2. 在(a,b)可导

以上两个条件都满足，可推出：$\exists \xi \in (a,b),f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

证明：

* 转化为罗尔中值定理

• 有限增量公式：$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(\xi )\Delta x(\xi \in (x_0,x_0+\Delta x))$

• 推论一：$f^{\prime }(x)\equiv 0\Rightarrow f(x)=C$

• 推论二：$f^{\prime }(x)\equiv g^{\prime }(x)\Rightarrow f(x)=g(x)+C$

• 推论三：单侧极限${\lim }_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-x_0}{x-x_0}$存在，则有：$f_{+}^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0^{+}}{f}^{\prime }(x)$

推论三的意义在于判断分段函数分界点处导数是否存在，可以分别求出其左右导数，如果左右导数相等则分界点处导数存在，反之亦然。如果不想用这种方法，也可以用定义去判断分界处导数是否存在。

5、柯西中值定理

1. f(x)，g(x)在[a,b]连续
2. f(x)，g(x)在(a,b)可导
3. $\forall x\in (a,b),g^{\prime }(x)\ne 0$

以上三个条件都满足，可推出：$\exists \xi \in (a,b),\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

证明：

* 转化为罗尔中值定理

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• 柯西中值定理 -> 拉格朗日中值定理 -> 罗尔中值定理，依次是前者的特殊情况。
• 这里讲到的三个是微分的中值定理，后面还有积分的中值定理