凸包问题：Graham's Scan解法

概念

凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。

问题

给定平面的点集，求出凸包的所有顶点。

算法思路

Grahanm's Scan算法的主要思路如下：
1，选择P中y坐标最小的点为起始点p0，若有多个这样的点则进一步选取其中x坐标最小的点为p0;

2，设是P中剩余的点，对其按逆时针方向相对p0的极角进行从小到大排序，若有多个点有相同的极角，则离p0点近的排在前面；

3，设排序后的点的顺序为p1,p2,……,pm，分别计算向量p0p1与p1p2的叉积，二维矢量的叉积a × b = IaI•IbIsinθ，θ为从a到b的夹角，如果b在a的逆时针方向，则sinθ为正，叉积也就为正，在我们逆时针遍历的情况下，如果b在a的顺时针方向，则p1点必定不是凸包上的点，反之则是在凸包上的点。所以我们使用栈来保存凸包上的点，遍历过程中发现栈顶的点不是凸包上的点就pop出来，如果是就继续把接下来的点放入栈中。

图片可能更容易理解，这里就放几张别人博客的图片：

Grahanm's Scan

JAVA实现

import java.util.*;

public class Main {

    static class Point {
        int x;
        int y;

        public Point(int x, int y) {
            this.x = x;
            this.y = y;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Point{" +
                    "x=" + x +
                    ", y=" + y +
                    '}';
        }
    }

    // 用于存储起始点
    public static Point centerPoint;

    // 叉积
    public static int CJ(int x1, int y1, int x2, int y2){
        return x1*y2 - x2*y1;
    }

    // 计算向量(p1->p2)和(p2->p3)两个向量的叉积
    public static int compare(Point p1, Point p2, Point p3){
        return CJ(p2.x-p1.x, p2.y - p1.y, p3.x-p2.x, p3.y-p2.y);
    }

    public static void main(String arg[]){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        List points = new ArrayList<>();
        for (int i=0; ipoint.y || (centerPoint.y==point.y && centerPoint.x>point.x)){
                centerPoint = point;
            }
            points.add(point);
        }
        // 把起始点拿出去
        points.remove(centerPoint);

        // 按照与起始点向量的极角排序
        Collections.sort(points, (p1, p2) -> {
            if (Math.atan2(p1.y- centerPoint.y, p1.x- centerPoint.x) != Math.atan2(p2.y- centerPoint.y, p2.x- centerPoint.x)){
                // atan2可以计算极角
                return Math.atan2(p1.y- centerPoint.y, p1.x- centerPoint.x) < Math.atan2(p2.y- centerPoint.y, p2.x- centerPoint.x)? -1 : 1;
            }
            // 极角相同与中心点距离越近，则x坐标也就越近
            return Math.abs(p1.x- centerPoint.x) - Math.abs(p2.x- centerPoint.x);
        });

        // 用数组模拟栈
        Point[] stack = new Point[n];
        stack[0] = centerPoint;
        // 栈顶指针
        int top = 0;

        // 遍历点集中每一个点
        for (int i=0; ip3)在(p1->p2)的顺时针方向，栈顶的点抛出
            while (top>=1&&compare(stack[top-1], stack[top], points.get(i)) < 0) top--;
            // 找到在逆时针方向的点了，将p2放入栈顶
            stack[++top] = points.get(i++);
        }

        // 输出栈中的所有点就是凸包上的点
        for (int i=0; i<=top; i++){
            System.out.println(stack[i]);
        }
    }
}

参考

算法作业-凸包问题-Graham方法
凸包：Graham's Scan