高中奥数 2022-02-26

引入适当的参数,根据题中式子的特点,将参数确定,从而使不等式获得证明.

2022-02-26-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P011 例16）

设、、是3个不全为零的实数,求的最大值.

分析欲求的最大值,只需先证明存在一个常数,使

且、、取某组数时,等号成立.

式可化为.由于右边两项和,所以左边的需拆成两项和.由

又由,得.

从而.

解

因为

所以,

即.

当,,时,等号成立.

所以,欲求的最大值为.

2022-02-26-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P012 例17）

例对于,求的最大值.

解

我们考虑的最大值,这里、、是正整数,满足,.后者即

代入,得

我们取,由平均不等式得,
此时.所以,当时,的最大值.

2022-02-26-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P013 例18）

(Ostrowski)设实数与不成比例.实数满足:

求证: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\geqslant\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}}$ .

证法1

设,设其中、为待定系数.于是
$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}&=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}+\dfrac{\alpha a_{i}+\beta b_{i}}{2}\right)^{2}-\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\left(\alpha a_{i}+\beta b_{i}\right)^{2}}{4}-\beta\\ &\geqslant -\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\left(\alpha a_{i}+\beta b_{i}\right)^{2}}{4}-\beta. \end{aligned}$
上述不等式等号成立,当且仅当

将式代回及中,有:

其中,,,.因此,

故

说明1本题还有下列两种证明方法,供读者参考:

证法2由Cauchy不等式可得,对任意,

即恒成立.

由判别式(关于的),即有:

证法3(综合运用上述两种方法)
由条件,对任意,有.

利用Cauchy不等式可得

所以
我们的目标是证明

因此,只需,

即.

取即可满足上述条件.

说明2可以从本题证明Fan-Todd定理:

设、为两组不成比例的实数列,已知,则
$\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}{\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}^{2}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}}\leqslant \left(C_{n}^{2}\right)^{-2}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\sum\limits_{i\neq k}\dfrac{a_{k}}{a_{i}b_{k}-a_{k}b_{i}}\right)^{2}.$
证明

只需在本题中令，读者不难自行验满足全部条件.

2022-02-26-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P015 例19）

求函数的最大值(其中).用表示,并求.

分析的每一项分母都很复杂,自然应先作代换将其简化.

解

令,,并约定.则

又,

故.

因此
$\begin{aligned} f_{n}&=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2} \left(\dfrac{1}{a_{i}}-\dfrac{1}{a_{i+1}}\right)\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_{i}-\dfrac{a_{i}^{2}}{a_{i+1}}\right)\\ &=\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)-\left(\dfrac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{a_{3}}+\cdots+\dfrac{a_{n}^{2}}{1}\right). \end{aligned}$
为求之最大值,构造下列不等式:
$\begin{cases} \dfrac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+ \lambda_{1}^{2}a_{2}\geqslant 2\lambda_{1}a_{1},\\ \dfrac{a_{2}^{2}}{a_{3}}+\lambda_{2}^{2}a_{3}\geqslant 2\lambda_{2}a_{2},\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \dfrac{a_{n}^{2}}{1}+\lambda_{n}^{2}\geqslant 2\lambda_{n}a_{n}, \end{cases}\qquad(*)$
其中入为参数,.

将中个不等式相加,只须使

即有.

注意到,且,故存在,易见它的值为1.

高中奥数 2022-02-26

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