线性空间2

1 矩阵的值域（定义）

        设, , 以 , 表示A的第i个列向量，称子空间为矩阵的值域，记为

        值域有如下结论

（1）

（2）（矩阵的秩数） （线性空间V中线性无关向量组所含向量最大个数称为维数）

（3）      

证明

 

2 零度 （定义）

        设 称集合为A的核空间（零空间），记为, 它是齐次线性方程组的解空间，它是的一个子空间

        A 的核空间的维数称为A的零度，记为.

        即：  

        

        通过上述例子，得出结论：的列数 （1）

                                又因为 的行数 （2）

         通过（1） - （2） 可得：  A的列数 - A的行数

3 子空间的交与和（定义）

        设是线性空间V的两个子空间，则：

                

                

        分别称为两个子空间的交与和。

4 若是线性空间V的两个子空间则 均为V的子空间 。 （定理）

        证明：

         

 5 是包含在中的最大子空间；

        是包含在的最小子空间。

5 若是线性空间V的子空间，则有

     定理

6 直和（定义） 

         设是线性空间V 的子空间，若其空间中任一元素只能唯一表示为的一个元素与的一个元素之和，即, 存在唯一的,使得 ,则称

为的直和，记为.

7  为直和的充要条件是   推论

         推论1 设是线性空间V 的子空间，令,则 的充要条件为

        推论2 如果 为 的基， 为的基，且为直和，则为为直和的基。