【数据结构与算法】01背包问题及输出具体方案

背景

最近重新复习下动态规划相关知识，所以把经典的背包问题拿出来重新看下。最为经典的莫过于背包九讲，详见：
这里只是把自己在做的过程中一些想法记录下来。

本文主要描述01背包问题。背包问题指的是我们有多少件物品要放进背包，求放进背包的价值最大。而01背包指的是每个种类的物品只有1件。

让我们看下具体问题

现在有三件物品，笔记本、手机跟手表。每件物品重量跟价值如下：

物品	笔记本	手机	手表
重量	3kg	1kg	1kg
价值	2000	5000	3000

现有一个4kg的背包，请问要怎么分配空间，使得整体价值最大。

解题思路

动态规划的思路实际就是把大的问题拆分成小的问题，
这里我们先定义状态：dp[i][j]，把前i个物品放到容量为j的背包里的最大价值。
那么有：
1）如果第i件物品，我们选择放到背包里（背包有足够容量j-weight[i]>0）：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])
2）不放到背包里：
dp[i][j] = dp[i-1][j]
按照这个思路，遍历 i：1-3，j：1-4
i=0，j=0~4，这是不管背包多少重量，都没有价值，所以dp[0][j] = 0。这也是dp[][]的初始状态，相当于这里进行了初始化。
i=1，这时我们看下笔记本时，背包重量从1到4的时候，背包里面的最大价值会是多少。
i=1，j=1或2，背包无法放下笔记本，dp[1][1] = dp[1][2] = 0
i=1，j=3，背包能放下笔记本，dp[1][3] = dp[0][3-1] + value[0] = 2000
同理，i=1，j=4时，dp[1][4] = dp[0][4-1] + value[0] = 2000
那么我们得到：

	1	2	3	4
笔记本	0	0	2000	2000
手机
手表

i=2，这时我们手里有笔记本及手机，背包重量从1到4，背包里面最大价值会是多少。
i=2,j=1时，背包无法放下笔记本，只能放下手机，这时dp[2][1] = dp[1][1-1] +value[2] = 5000
同理，i=2，j=2时， dp[2][2] = dp[1][2-1] +value[2] = 5000
i=2，j=3时， 背包可以放下笔记本或者手机，但无法同时存放，那么我们要对比具体价值大小： dp[2][3] = max(dp[1][3]，dp[1][3-1] +value[2]) = max(2000，5000)，得到只能存放手机
i=2，j=4时，背包可以放下笔记本和手机。
这时的表格变成：

	1	2	3	4
笔记本	0	0	2000	2000
手机	5000	5000	5000	7000
手表

i=3，这时我们手里有笔记本及手机、手表，背包重量从1到4，背包里面最大价值会是多少。
i=3,j=1时，背包无法放下笔记本，只能放下手机或手表，这时dp[3][1] =max（dp[2][1],dp[2][0]+value[3]）=max(5000,3000) = 5000
这里成立的原因是，我们已经得到了dp[2][1]，这个值已经被更新为前2个物品在1kg背包时的最大价值，再加上第三个对比即可。
因此，我们也可以得到其他情况：

	1	2	3	4
笔记本	0	0	2000	2000
手机	5000	5000	5000	7000
手表	5000	8000	8000	8000

代码实现

#include 
using namespace std;
/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */
#define MAX 10
int getMax(int x,int y){
	return x>y?x:y;
}
int getValue(int m,int n,int *weight,int *value){

	int dp[MAX][MAX];
	for(int i=0;i<=m;i++){
		for(int j=0;j<=n;j++){
			dp[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j>=weight[i-1]){
				dp[i][j]=getMax( dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1] );		//这里要注意我们取得都是weight[i-1] value[i-1] 因为这里的数据是按0开始存放。
			}else{
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
		}
	}
	int maxValue = dp[m][n];
	
	return maxValue; 
}


int main(int argc, char** argv) {
	
	
	int m = 3;
	int n = 4;
	int weight[]={3,1,1};
	int value[]={2000,5000,3000};
	
	int res = getValue(m,n,weight,value);
	
	cout<<"value:"<

运行得到：
value:8000

如何得到具体的方案

按照最大价值的思路，做个逆向运算即可。即：
我们得到了整个表dp[][]，现在我们遍历所有的物品i，看下是否有选中具体的某一件。
如何判断有没有选中物品i，根据我们上面的条件，如果选择放某一件物品i，具体的dp会更新如下：
dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]
那么判断上述这个等式如果成立的话，也就是选中了i，
编写对应代码验证看看：

	int restj = n;
	for(int i=m;i>0;i--){
		for(int j=restj;j>0;j--){
			if(dp[i][j]==dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]){
				restj -= weight[i-1];
				cout<< "pick:"<

运行得到：
pick:3 restj:3
pick:2 restj:2