三维凸包

一些前置知识

（鉴于博主没系统学过三维几何，若描述有错误欢迎提出）

1. 法向量：垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量（右手螺旋定则）
   求法：同一平面内任选两个向量做叉积，得到模长为面积的法向量。
2. 点到平面的距离：该点到平面上任意一点的向量与该平面法向量做点积（可以理解为平面上的投影思想）
3. 判断一个点$D$是否在该平面上：
   求法：在平面上任意找一个点，和该点构成向量，与法向量做点积判断是否为$0$。
   粗略证明：已知法向量$n$与整个平面垂直，从而$n$与平面$\alpha$上任意一条线都垂直，所以只要该点$D$在平面上，其与平面上任意一点的连线都与$n$垂直。若$D$不在平面上，却又有$DA\perp n$，则可以在$\alpha$上找另一点$D^{\prime }$，使$D^{\prime }A\perp n$，那么有$D^{\prime }A//DA$，与假设矛盾，假设不成立，证毕。
4. 判断一个面是否可见
   为了判断有向体积，先一律规定法向量方向朝外，将该新增的点与需判断平面的一个顶点做叉积，判断有向体积是否大于零（

增量法找三维凸包$O(n^2)$做法（$O(nlogn)$做法咕咕咕，大概就是三维旋转卡壳思想，分治即可）
放一张来自这里的图便于大家理解
将新增的点与已有的点做投影，判断哪些面可见哪些不可见，并将可见面删除，在数组中增加新增点与可见面棱的面即可。
注意：

1. 为了避免四点共面的情况，在读入时对每个点进行微小扰动处理（不会对后面结果造成影响）
2. 初始要先构造两条边，再与第一个点结合起来构成一个基本的面，这样才能进行下一步，由于后面处理的原理，这个初始的面不会对其造成影响
3. $\%3$是为了头尾相接
4. 判断面是否可见：计算$AD$与法向量点积，求出余弦值，余弦值为正的可见，否则不可见
   
   上代码：

#include 
#define db double
using namespace std;
const int N=2100;
const db eps=1e-9;
int n,cnt,vis[N][N];
db reps(){return (rand()/(db)RAND_MAX-0.5)*eps;}
struct Pnt{
	db x,y,z;
	void shake(){x+=reps(),y+=reps(),z+=reps();}
	db len(){return sqrt(x*x+y*y+z*z);}
	Pnt operator -(Pnt a){return (Pnt){x-a.x,y-a.y,z-a.z};}
	Pnt operator *(Pnt a){return (Pnt){y*a.z-z*a.y,z*a.x-x*a.z,x*a.y-y*a.x};}
	db operator ^(Pnt a){return x*a.x+y*a.y+z*a.z;}
}A[N];
struct face{
	int v[3];
	Pnt Normal(){return (A[v[1]]-A[v[0]])*(A[v[2]]-A[v[0]]);}
	db area(){return Normal().len()/2.0;}
}f[N],C[N];
int see(face a,Pnt b) {return ((b-A[a.v[0]])^a.Normal())>0;}
void convex_3(){
	f[++cnt]=face{1,2,3};
	f[++cnt]=face{3,2,1};
	for(int i=4,cc=0;i<=n;++i){
		for(int j=1,v;j<=cnt;++j){
			if(!(v=see(f[j],A[i])))C[++cc]=f[j];
			for(int k=0;k<3;++k){vis[f[j].v[k]][f[j].v[(k+1)%3]]=v;}
		}
		for(int j=1;j<=cnt;++j){
			for(int k=0;k<3;++k){
				int x=f[j].v[k],y=f[j].v[(k+1)%3];
				if(vis[x][y]&&(!vis[y][x]))C[++cc]=face{x,y,i};
			}
		}
		for(int j=1;j<=cc;++j){f[j]=C[j];}
		cnt=cc,cc=0;
	}
}
inline int read(){
	int cnt=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){cnt=(cnt<<3)+(cnt<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return cnt*f;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>A[i].x>>A[i].y>>A[i].z,A[i].shake();
    convex_3();
    db ans=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=f[i].area();
    printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}

顺便实名吐槽一下洛谷2287，抖动精度要开到$1e-10$要不然只有$75pts$，精度什么的好烦鸭>o<还是我脸黑？